analyse complexe

Imaginez un point qui se déplace sur un plan plutôt que sur une droite. Sa position est décrite par un nombre complexe, avec une partie réelle et une partie imaginaire. Une fonction complexe transforme chaque point de ce plan en un autre point.

L’analyse complexe étudie ces transformations. Lorsqu’une fonction est holomorphe, une condition locale de dérivabilité impose une régularité remarquable. Les pôles signalent certains points singuliers, et les résidus permettent d’en mesurer l’effet sur une intégrale parcourant un contour.

L’analyse complexe est la branche de l’analyse mathématique qui étudie les fonctions dont la variable et les valeurs sont des nombres complexes. Un nombre complexe s’écrit z = x + iy, où x et y appartiennent à ℝ et sont respectivement sa partie réelle et sa partie imaginaire, tandis que i désigne l’unité imaginaire choisie, avec i² = −1. Une fonction f associe alors à chaque point z de son domaine un nombre complexe f(z).

Une fonction est dite holomorphe sur un ouvert lorsqu’elle est dérivable au sens complexe en chacun des points de cet ouvert. En un point z₀, cette dérivabilité exige l’existence d’une limite unique du quotient (f(z) − f(z₀))/(z − z₀) lorsque z tend vers z₀, indépendamment de toute manière d’approcher ce point dans le plan complexe. Une fonction holomorphe est aussi analytique : localement, elle se développe en série entière.

Un pôle est un point isolé où la fonction devient singulière avec un comportement de type puissance inverse. Le résidu est le coefficient du terme en puissance −1 dans le développement local autour de ce pôle. Pour une fonction holomorphe sur un voisinage d’un contour simple, fermé, régulier par morceaux et positivement orienté, ainsi que de son intérieur, sauf en un nombre fini de pôles situés à l’intérieur, le théorème des résidus relie l’intégrale sur le contour à la somme des résidus de ces pôles. Ces outils interviennent dans le calcul d’intégrales et la résolution d’équations différentielles.

On considère la fonction f définie par $f(z)=\frac{1}{z-1}f(z)=\backslash frac\{1\}\{z-1\}$. Le contour C est le cercle de centre 1 et de rayon 2, parcouru une fois dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le seul pôle de f est z = 1, situé au centre de C.

1. Autour de z = 1, la fonction est déjà écrite comme une puissance inverse : $f(z)=(z-1{)}^{-1}f(z)=(z-1)^\{-1\}$.

2. Le coefficient du terme (z − 1)⁻¹ vaut 1. Le résidu de f au pôle z = 1 est donc 1.

3. Le théorème des résidus donne : ${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\times 1=2\pi i\backslash oint\_C\; f(z)\backslash ,dz=2\backslash pi\; i\backslash times\; 1=2\backslash pi\; i$.

Le résultat est donc 2πi. Pour le contrôler directement, on paramètre le cercle par $z(t)=1+2e^{it}z(t)=1+2e^\{it\}$, avec t allant de 0 à 2π. Alors dz = 2ie^it dt et f(z) = 1/(2e^it) ; leur produit vaut i dt, dont l’intégrale de 0 à 2π est bien 2πi.

Pour calculer une intégrale le long d’un contour fermé, on repère les pôles entourés et leurs résidus. Une primitive directe reste préférable lorsqu’elle est immédiatement disponible sur tout le domaine concerné ; les résidus deviennent décisifs quand les singularités structurent le calcul.

Pour étudier une fonction complexe, on vérifie d’abord où elle est holomorphe. Les zéros d’un dénominateur signalent des singularités possibles ; un développement local précise ensuite s’il s’agit de pôles et fournit les résidus.

Dans certaines équations différentielles, les fonctions complexes et les intégrales complexes offrent une voie de résolution. On conserve une méthode réelle directe lorsque les données et les solutions restent plus simplement décrites sur la droite réelle.

Analyse complexe et nombres complexes. Les nombres complexes forment le système de nombres utilisé ; l’analyse complexe est la branche qui étudie des fonctions définies sur ces nombres. Écrire z = 1 + i mobilise un nombre complexe, sans constituer à lui seul un problème d’analyse complexe.

Holomorphe et dérivable en un seul point. Une fonction holomorphe doit être dérivable dans tout un voisinage ouvert, pas seulement en un point isolé. Une dérivée complexe existant uniquement au point z = 0 ne suffit donc pas à qualifier la fonction d’holomorphe autour de 0.

Pôle et singularité quelconque. Un pôle possède un ordre fini et un comportement en puissance inverse. Une singularité qui ne présente pas ce comportement n’est pas automatiquement un pôle ; il faut examiner le développement local avant d’utiliser une formule de résidu adaptée.

Le contour traverse un pôle. Si C passe par z = 1 dans l’exemple, f n’est pas définie sur tout le trajet et l’intégrale usuelle du contour ne relève plus directement du théorème des résidus. Il faut modifier le contour ou préciser une autre notion d’intégrale.

Le pôle est à l’extérieur. Un résidu ne contribue que si le contour entoure son pôle. Pour un cercle de centre 1 et de rayon strictement positif, le pôle central est entouré ; pour un contour fermé qui laisse z = 1 dehors, sa contribution est nulle.

L’orientation est inversée. Parcourir le même cercle dans le sens des aiguilles d’une montre change le signe de l’intégrale. Le résultat de l’exemple devient −2πi, bien que le pôle et son résidu restent inchangés.

Une dérivée locale est surinterprétée. La dérivabilité complexe en un point ne garantit pas l’holomorphie sur un ouvert. Il faut vérifier la condition dans un voisinage avant d’invoquer les propriétés globales des fonctions holomorphes.

fonction holomorphe — Approfondir la condition de dérivabilité complexe qui fonde la régularité étudiée dans cette fiche.

résidu — Isoler le coefficient local qui transforme certains calculs d’intégrales sur un contour fermé.

Aux origines de l’analyse complexe — Situer historiquement la formation de cette branche des mathématiques.