fonction holomorphe

Imaginez que chaque point d’un plan soit transformé en un autre point. Autour d’un point donné, une fonction holomorphe agit presque comme une multiplication par un nombre complexe : elle agrandit et fait tourner de la même façon, quelle que soit la direction d’approche.

Cette exigence est bien plus rigide qu’une dérivée sur une droite. Il faut obtenir la même dérivée par toutes les approches et tous les chemins vers le point, qu’on arrive horizontalement, verticalement, en biais ou suivant une trajectoire courbe. Cette rigidité explique qu’une fonction holomorphe possède automatiquement des dérivées de tous les ordres et une description locale par série entière.

Soit U un ensemble ouvert du plan complexe et soit f une fonction de U vers ℂ. Au point z₀ de U, la fonction est dérivable au sens complexe si le quotient des variations admet une limite complexe finie : $f^{\mathrm{\prime }}(z_0)={\lim }_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}f\text{'}(z\_0)=\backslash lim\_\{z\backslash to\; z\_0\}\backslash frac\{f(z)-f(z\_0)\}\{z-z\_0\}$. Cette limite doit être la même quelle que soit la manière dont z approche z₀, et pas seulement le long de droites. La fonction est holomorphe sur U lorsqu’elle est dérivable au sens complexe en chaque point de U ; on dit qu’elle est holomorphe au voisinage de z₀ si elle l’est sur un ouvert contenant ce point.

Écrivons z=x+iy et décomposons la valeur de f en une partie réelle u(x,y) et une partie imaginaire v(x,y). La dérivabilité complexe entraîne les équations de Cauchy-Riemann : Réciproquement, ces équations assurent la dérivabilité complexe au point si u et v y sont différentiables au sens réel. La seule existence des quatre dérivées partielles, sans hypothèse supplémentaire, ne suffit pas en général.

Sur un ouvert, toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable et analytique : près de chaque point, elle coïncide avec une série entière. Le domaine U peut avoir plusieurs composantes ; les propriétés s’appliquent sur chacune. Si U est tout le plan complexe ℂ, la fonction est dite entière.

La structure repose sur quatre éléments. Le domaine U est ouvert : chaque point étudié possède un petit voisinage entièrement contenu dans U. La fonction f associe à chaque nombre complexe de U un nombre complexe. Le point z₀ fixe l’endroit où l’on observe le comportement local. Le quotient de variations compare le déplacement de la valeur de f au déplacement de l’entrée.

L’ouverture du domaine autorise une approche de z₀ depuis toutes les directions. Le quotient dépend d’abord du déplacement choisi ; l’existence de la dérivée exige que cette dépendance disparaisse à la limite. Ces données suffisent à calculer f′(z₀) et, point par point, à décider si f est holomorphe sur U. La couleur ou le tracé d’une représentation graphique ne participent pas à la définition.

Considérons la fonction f définie par f(z)=z² et le point z₀=1+i. Un déplacement complexe non nul est noté h. Nous cherchons la limite du quotient de variations lorsque h tend vers 0.

En remplaçant z par z₀+h, on obtient :

Comme h est non nul avant le passage à la limite, le quotient se simplifie exactement :

Le terme h disparaît quelle que soit sa direction. La limite vaut donc 2z₀=2+2i. Ainsi, f′(1+i)=2+2i.

Pour h=0,25, le quotient vaut 2,25+2i. Pour h=0,25i, il vaut 2+2,25i. Les deux valeurs se rapprochent bien de 2+2i. La figure matérialise ces deux approches sans remplacer le calcul de la limite.

Pour tester un polynôme complexe, on calcule sa dérivée avec les règles usuelles. Comme le résultat existe en tout point de ℂ, le polynôme est entier. Le quotient de variations reste le recours direct lorsqu’une formule est inhabituelle.

Pour une fonction donnée par ses parties réelle u et imaginaire v, on vérifie les équations de Cauchy-Riemann et la différentiabilité réelle. Si cette régularité n’est pas établie, il faut revenir à la limite complexe plutôt que conclure avec les seules dérivées partielles.

Pour un quotient de fonctions holomorphes, on repère d’abord les zéros du dénominateur. Le quotient est holomorphe là où le dénominateur ne s’annule pas ; aux points exclus, l’étude des singularités ou le cadre méromorphe devient pertinent.

Dérivable au sens réel. Une application du plan vers le plan peut posséder une différentielle réelle sans être holomorphe. Le test décisif est l’existence d’une même limite pour toute manière d’approcher le point, pas seulement le long de directions rectilignes. Par exemple, la conjugaison z↦z̄ est différentiable comme application réelle, mais ses quotients valent 1 sur l’axe réel et −1 sur l’axe imaginaire au point 0.

Fonction entière. Une fonction entière est holomorphe sur tout ℂ. Une fonction telle que z↦1/z est holomorphe sur ℂ privé de 0, mais elle n’est pas entière puisque son domaine ne contient pas 0.

Fonction méromorphe. Une fonction méromorphe peut avoir des pôles isolés, alors qu’une fonction holomorphe doit être définie et dérivable en chaque point de son domaine. La fonction z↦1/z tranche : elle est méromorphe sur ℂ, mais non holomorphe en 0.

Un seul chemin ne prouve rien. Obtenir une limite en faisant tendre z vers z₀ sur l’axe réel ne suffit pas. Il faut une limite commune à tous les chemins et à toutes les approches possibles. Deux chemins donnant des valeurs différentes prouvent immédiatement l’échec, mais l’accord de quelques directions ne prouve pas l’existence de la limite.

Les équations seules peuvent tromper. Des dérivées partielles satisfaisant Cauchy-Riemann en un point ne garantissent pas, sans différentiabilité réelle ou hypothèses de régularité appropriées, l’existence de la dérivée complexe. Dans le doute, il faut étudier le quotient de variations.

Le bord n’est pas un point intérieur. L’holomorphie sur un ouvert concerne ses points intérieurs. À un point du bord, certaines directions d’approche peuvent sortir du domaine ; on ne déclare pas l’holomorphie en ce point sans prolongement à un voisinage ouvert.

Une formule peut changer de domaine. Le quotient z↦1/z est holomorphe sur ℂ∖{0}, pas sur tout ℂ. Avant d’employer les règles de dérivation, il faut donc préciser le domaine et retirer les points où l’expression n’est pas définie.

L’analyse complexe replace l’holomorphie dans l’étude générale des fonctions d’une variable complexe.

Les équations de Cauchy-Riemann détaillent le lien entre parties réelle et imaginaire.

La série entière éclaire la représentation locale dont bénéficie toute fonction holomorphe.

La fonction méromorphe prolonge l’étude en autorisant des pôles isolés.