AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série entière
Une série entière est une série de fonctions dont le terme général est de la forme aₙ zⁿ, où n est un entier naturel, z est la variable (réelle ou complexe) et aₙ est un coefficient réel ou complexe. Elle s'écrit donc Σₙ₌₀^∞ aₙ zⁿ = a₀ + a₁z + a₂z² + …. À toute série entière est associé un rayon de convergence R ∈ [0, +∞], tel que la série converge absolument pour |z| < R et diverge pour |z| > R. À l'intérieur du disque de convergence, la somme définit une fonction analytique de la variable z.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les coefficients, les puissances et la variable d’une série entière.
- Interpréter le rayon comme frontière du domaine de convergence absolue.
- Refaire le calcul exact de la série géométrique en z = 1/2.
- Traiter séparément les points où le module de z égale le rayon.
En clair
Prenons 1 + z + z² + z³ + … : chaque nouveau terme reprend la même variable z, élevée à une puissance de plus en plus grande. On n’additionne donc pas seulement des nombres, mais des fonctions de z.
La valeur choisie pour z décide du comportement de l’addition. Près de 0, les puissances peuvent devenir très petites et la somme se stabiliser. Le rayon de convergence trace la frontière entre les valeurs où cette stabilisation est garantie et celles où la série diverge.
Définition
Une série entière est une somme infinie de fonctions. Pour chaque entier naturel n, le coefficient an est réel ou complexe, et la variable z est elle aussi réelle ou complexe. Son terme d’indice n est anzn. La série s’écrit :
À cette série est associé un rayon de convergence, noté R, compris entre 0 et +∞. Pour toute valeur de z telle que |z| < R, la série converge absolument. Pour |z| > R, elle diverge. Si z est complexe, la première condition décrit le disque de centre 0 et de rayon R. À l’intérieur de ce disque, la somme dépend de z et définit une fonction analytique. Le rayon ne tranche pas à lui seul les points où |z| = R : ces points doivent être étudiés séparément.
De quoi c'est fait
La suite des coefficients a0, a1, a2, … fixe la série. La variable z fournit les puissances 1, z, z², … ; chaque coefficient multiplie la puissance de même indice. L’addition de tous ces termes forme la série, tandis que son rayon R délimite la zone où cette addition infinie converge absolument. Les coefficients déterminent donc le comportement des termes, et ce comportement détermine le rayon.
Dans l’exemple conducteur, tous les coefficients valent 1. La série 1 + z + z² + … a pour rayon 1. Dans le plan complexe, son domaine de convergence absolue est le disque unité ; le point z = 1/2 y est représenté comme une valeur où la somme converge.
Un exemple, pas à pas
Considérons la série dont tous les coefficients valent 1. La variable choisie est z = 1/2. Les quatre premiers termes, d’indices 0 à 3, sont 1, 1/2, 1/4 et 1/8.
1. On écrit la série géométrique : .
2. Son rayon de convergence vaut R = 1 ; la valeur |z| = 1/2 est donc strictement intérieure au disque.
3. On additionne les quatre premiers termes : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8.
4. Pour un dernier indice N, la somme partielle vaut . Quand N augmente, 2−N tend vers 0.
2. Son rayon de convergence vaut R = 1 ; la valeur |z| = 1/2 est donc strictement intérieure au disque.
3. On additionne les quatre premiers termes : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8.
4. Pour un dernier indice N, la somme partielle vaut . Quand N augmente, 2−N tend vers 0.
La somme infinie vaut donc exactement 2. Le contrôle est refaisable : après les quatre premiers termes, il manque 2 − 15/8 = 1/8, soit exactement la somme de la queue 1/16 + 1/32 + ….
En pratique
Pour savoir si une valeur de z est admissible, on compare son module au rayon R. Si |z| < R, la convergence absolue est acquise ; si |z| > R, il faut renoncer à cette série pour calculer une somme.
Pour obtenir une valeur numérique à l’intérieur du disque, on additionne un nombre fini de termes. On augmente ensuite le dernier indice et on observe l’écart entre deux sommes partielles. Pour z = 1/2 dans 1 + z + z² + …, cet écart diminue avec les puissances de 1/2.
Pour décrire la fonction obtenue, la série entière conserve une information terme par terme grâce à ses coefficients. Si la valeur étudiée se trouve sur la frontière |z| = R, la comparaison au rayon ne suffit plus : une étude particulière remplace alors le verdict automatique.
À ne pas confondre
Polynôme. Un polynôme ne contient qu’un nombre fini de puissances de z. Une série entière en contient potentiellement une infinité. Ainsi, 1 + z + z² est un polynôme, tandis que 1 + z + z² + … est une série entière.
Série numérique. Dans une série entière, z reste d’abord une variable et chaque terme est une fonction. Dès que l’on fixe z = 1/2, on obtient la série numérique 1 + 1/2 + 1/4 + … ; le critère distinctif est donc la présence d’une variable libre.
Développement en série de Taylor. Une série entière est l’objet formel Σanzn. Un développement en série de Taylor relie les coefficients aux dérivées d’une fonction que la série doit représenter. La donnée ou non d’une fonction de départ tranche les deux situations.
Limites et pièges
Sur la frontière. Lorsque |z| = R, le rayon ne donne aucun verdict général. Pour 1 + z + z² + …, le point z = 1 donne 1 + 1 + 1 + …, qui diverge ; chaque point frontière demande son propre examen.
Rayon nul. Si R = 0, la garantie |z| < R ne couvre aucun point. Le point z = 0 reste toutefois particulier : la série y vaut a0, car toutes les puissances d’exposant positif s’annulent.
Rayon infini. Si R = +∞, aucune valeur finie de |z| ne se trouve à l’extérieur du disque. La série converge alors absolument pour toute variable réelle ou complexe finie.
Intervalle ou disque. Pour une variable réelle, |z| < R décrit l’intervalle entre −R et R. Pour une variable complexe, la même écriture décrit un disque. Confondre ces deux représentations masque la dimension du domaine, même si le critère sur le module reste identique.
Pour aller plus loin
Le rayon de convergence approfondit le seuil qui sépare convergence absolue et divergence.
La fonction analytique précise la nature de la somme obtenue à l’intérieur du disque de convergence.
La convergence absolue détaille la garantie satisfaite par toute série entière lorsque |z| < R.
Le produit de Cauchy de deux séries montre comment combiner deux sommes par leurs coefficients.
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