Rayon de convergence

Imaginez des cercles de plus en plus grands, tous centrés en 0, dans le plan complexe. Pour une série entière dont le rayon R est fini et strictement positif, il existe une frontière circulaire : à l'intérieur, additionner ses termes donne toujours une valeur finie, quelle que soit la direction choisie. À l'extérieur, la série diverge. Si R = 0, aucun disque ouvert de rayon positif n'est garanti ; si R = ∞, la série converge partout et il n'existe pas de frontière circulaire finie.

La distance entre le centre et cette frontière est le rayon de convergence. La frontière elle-même demande une vérification point par point : deux nombres complexes situés à la même distance du centre peuvent produire des comportements différents.

Une série entière en la variable complexe z est une somme infinie dont le coefficient du terme zⁿ est noté a_n. Elle s'écrit : ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}\; a\_n\; z^n$. Son rayon de convergence est un nombre R compris entre 0 et l'infini. La série converge absolument lorsque |z| < R et diverge lorsque |z| > R. L'ensemble |z| < R est le disque ouvert de convergence.

La formule de Hadamard calcule ce rayon à partir de la taille asymptotique des coefficients : $\frac{1}{R}={\mathrm{lim\hspace{0.17em}sup}}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }}\backslash frac\{1\}\{R\}=\backslash limsup\_\{n\backslash to+\backslash infty\}\backslash sqrt[n]\{|a\_n|\}$. La limite supérieure retient le rythme de croissance maximal persistant des racines n-ièmes. Si elle vaut 0, on pose R = ∞ ; si elle est infinie, on obtient R = 0.

Lorsque a_n+1 est non nul à partir d'un certain rang et que la limite du quotient existe, est finie et strictement positive, la règle de D'Alembert donne aussi $R={\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\mid \frac{a_n}{a_{n+1}}\mid R=\backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{a\_n\}\{a\_\{n+1\}\}\backslash right|$. Aucun de ces critères ne décide à lui seul ce qui se passe sur le cercle |z| = R : chaque point du bord doit être étudié séparément.

Considérons la série dont le terme d'indice n, pour n ≥ 1, est zⁿ/(n·2ⁿ). Les données sont donc a_n = 1/(n·2ⁿ) et n commence à 1. La carte du plan complexe associée distingue l'intérieur, l'extérieur et deux points opposés du bord.

1. La racine n-ième de |a_n| vaut 1/(2·n^1/n).
2. Comme n^1/n tend vers 1, cette quantité tend vers 1/2.
3. La formule de Hadamard donne 1/R = 1/2, donc R = 2.
4. Au point z = 2, la série devient la série harmonique de terme 1/n et diverge.
5. Au point z = −2, elle devient la série alternée de terme (−1)ⁿ/n et converge, mais pas absolument.

Le contrôle est immédiat hors du bord : z = 1 vérifie |z| < 2, donc la convergence est absolue ; z = 3 vérifie |z| > 2, et les termes 3ⁿ/(n·2ⁿ) ne tendent pas vers 0. Le même rayon produit ainsi convergence à l'intérieur, divergence à l'extérieur et deux réponses différentes sur le bord.

Pour déterminer rapidement où une série entière représente une fonction, on examine d'abord ses coefficients. La formule de Hadamard fonctionne sans supposer l'existence d'un quotient limite ; la règle de D'Alembert est souvent plus courte lorsque le rapport de deux coefficients successifs se stabilise.

Dans le plan complexe, le rayon transforme une question point par point en une carte simple. Une seule comparaison entre |z| et R suffit à conclure à la convergence absolue ou à la divergence tant que |z| n'est pas égal à R.

Sur le cercle frontière, le bon geste change : il faut remplacer z par le point étudié, simplifier la série obtenue, puis appliquer un critère adapté. Dans l'exemple conducteur, cette vérification sépare z = 2 de z = −2 alors que leurs modules sont égaux.

Le rayon de convergence est un nombre, tandis que le disque de convergence est l'ensemble des nombres complexes vérifiant |z| < R. Pour R = 2, le premier vaut 2 et le second contient par exemple z = 1.

Le rayon ne doit pas être confondu avec l'ensemble complet des points où la série converge. Dans l'exemple, z = −2 appartient à cet ensemble, mais z = 2 n'y appartient pas, bien que les deux soient sur le cercle de rayon 2.

Enfin, convergence et convergence absolue ne sont pas synonymes. Au point z = −2, la série alternée converge, alors que la série de ses valeurs absolues est harmonique et diverge. Ce point du bord donne un cas qui tranche nettement.

Le cas R = 0 signifie que la série ne converge qu'au centre z = 0. Il n'existe alors aucun disque ouvert de rayon positif sur lequel elle converge. À l'autre extrême, R = ∞ signifie qu'elle converge absolument pour tout nombre complexe z.

L'égalité |z| = R est le seuil charnière. Elle n'autorise aucune conclusion générale : dans l'exemple de rayon 2, z = 2 entraîne une divergence tandis que z = −2 entraîne une convergence conditionnelle. Il faut étudier la série obtenue en chaque point considéré.

Le critère de D'Alembert peut être inutilisable si les quotients de coefficients ne sont pas définis à partir d'un certain rang ou ne possèdent pas de limite. Ce blocage ne prouve rien sur le rayon ; la formule de Hadamard reste alors le critère général à employer.

La fiche série entière replace le rayon dans l'objet complet : coefficients, puissances de la variable et fonction définie par la somme.