AnalyseFormule · Glossaire
formule de Hadamard
La formule de Cauchy-Hadamard donne le rayon de convergence R d’une série entière de coefficients a_n : si L est la limite supérieure de |a_n|^{1/n}, alors R = 1/L, avec R = +∞ lorsque L = 0 et R = 0 lorsque L = +∞. Elle traduit l’idée que la croissance asymptotique la plus forte et persistante des coefficients fixe jusqu’où la série converge. Celle-ci converge absolument dans le disque ouvert de rayon R et diverge à l’extérieur ; sur le cercle de rayon R, elle doit être étudiée séparément.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la limite supérieure des racines n-ièmes au rayon de convergence.
- Calculer un rayon égal à 1 pour des coefficients alternant entre deux comportements.
- Vérifier la convergence à l’intérieur et la divergence à l’extérieur du disque.
- Distinguer Cauchy-Hadamard de la règle de d’Alembert.
- Traiter séparément le cercle frontière et les cas L = 0 ou L = +∞.
En clair
Imaginez que les coefficients d’une série entière forment deux files : aux indices pairs positifs, leur racine d’ordre n vaut 1 ; aux indices impairs, elle vaut 1/3. La suite obtenue oscille et ne possède pas de limite, mais sa valeur haute persistante est 1. C’est cette limite supérieure que la formule de Hadamard retient.
Elle transforme cette information en une distance : ici, le rayon vaut 1. À l’intérieur du disque de rayon 1, la série converge absolument ; à l’extérieur, elle diverge. La frontière demande un examen séparé.
Définition
Considérons une série entière de variable complexe z, dont an est le coefficient d’indice n. Pour mesurer la croissance exponentielle possible des coefficients, on forme la racine n-ième de leur valeur absolue, puis on prend la limite supérieure de cette suite. En notant L cette limite supérieure, on écrit : .
Le rayon de convergence R est l’inverse de L : . Cette égalité se lit avec deux conventions : si L vaut 0, alors R vaut +∞ ; si L vaut +∞, alors R vaut 0. Pour toute valeur de z telle que |z| < R, la série converge absolument. Pour |z| > R, son terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge.
Le rayon décrit donc un disque ouvert de convergence, sans décider ce qui se passe sur son cercle frontière. La formule reste applicable lorsque les racines n-ièmes oscillent : la limite supérieure retient alors leur plus grande valeur d’adhérence asymptotique.
Le principe
Soit une série entière , où z est complexe et an désigne son coefficient d’indice n. Si , alors son rayon de convergence est , avec R = +∞ pour L = 0 et R = 0 pour L = +∞. La série converge absolument lorsque |z| < R et diverge lorsque |z| > R.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à une série entière centrée en 0, indexée par les entiers n ≥ 0, avec des coefficients réels ou complexes. Il faut connaître leur comportement asymptotique, au moins assez pour déterminer . Aucune limite ordinaire des racines n-ièmes ni des quotients successifs n’est exigée.
La conclusion porte sur l’intérieur et l’extérieur du disque de convergence, jamais automatiquement sur sa frontière. Si l’objet donné n’est pas une série entière — par exemple une série dont les termes ne sont pas des coefficients multipliés par les puissances successives d’une même variable — cette formule ne fournit pas directement un rayon ; il faut employer un critère adapté à cette série.
Un exemple, pas à pas
Étudions la série entière dont le coefficient an vaut 1 lorsque n est pair et 3−n lorsque n est impair. Les données sont donc deux sous-suites de racines n-ièmes, de valeurs respectives 1 et 1/3.
1. Pour tout indice pair n ≥ 1, la racine n-ième de |an| vaut 1. Pour tout indice impair n, elle vaut .
2. La suite des racines alterne donc entre 1 et 1/3. Sa limite supérieure vaut exactement L = 1. La figure matérialise ces deux niveaux et la valeur retenue.
3. La formule donne . La série converge absolument pour |z| < 1 et diverge pour |z| > 1.
4. Contrôlons le résultat : pour les indices pairs, les termes sont z2k. Ils forment une série géométrique qui converge si |z| < 1 et dont les termes ne tendent pas vers 0 si |z| > 1. Sur |z| = 1, ces mêmes termes ont un module égal à 1 ; la série diverge donc aussi sur tout le cercle dans cet exemple particulier.
En pratique
Quand les coefficients ressemblent à une puissance fixe, leur racine n-ième révèle directement l’échelle exponentielle. C’est souvent le geste le plus court pour obtenir le rayon.
Quand les coefficients alternent entre plusieurs comportements, on examine les sous-suites de racines et l’on retient leur limite supérieure. L’exemple pair-impair montre que l’absence de limite ordinaire ne bloque pas le calcul.
Si le quotient |an+1/an| possède une limite simple, la règle de d’Alembert peut être plus rapide. S’il oscille ou devient parfois indéfini à cause de coefficients nuls, Cauchy-Hadamard reste l’outil naturel.
À ne pas confondre
La formule de Cauchy-Hadamard et la règle de d’Alembert peuvent donner le même rayon, mais elles ne demandent pas la même information. D’Alembert repose sur une limite de quotients successifs ; Cauchy-Hadamard utilise toujours une limite supérieure de racines n-ièmes. Dans l’exemple pair-impair, le quotient tend alternativement vers 0 ou +∞, tandis que la limite supérieure des racines vaut 1 : seule la seconde procédure s’applique directement.
Limites et pièges
Sur le cercle |z| = R. La formule ne conclut rien. Il faut remplacer z par le point frontière étudié et appliquer un critère de convergence à la série obtenue. Dans l’exemple, les termes pairs gardent un module égal à 1, ce qui suffit à établir la divergence.
Lorsque L = 0. L’écriture 1/0 n’est pas une division ordinaire : la convention donne R = +∞. La série converge alors absolument pour tout nombre complexe z.
Lorsque L = +∞. La convention donne R = 0. La série ne peut converger qu’au centre z = 0, où tous les termes d’indice positif s’annulent ; sa valeur y est a0.
Quand certains coefficients sont nuls. Leur racine n-ième vaut 0, mais ces zéros n’imposent pas à eux seuls L = 0. Il faut conserver la limite supérieure de toute la suite ; des coefficients non nuls sur une sous-suite peuvent encore déterminer un rayon fini.
Pour aller plus loin
Le rayon de convergence précise la géométrie du disque et le statut particulier de son cercle frontière.
La fiche sur la série entière replace les coefficients, le centre et les puissances de la variable dans leur cadre général.
La règle de d’Alembert montre dans quel cas une limite de quotients successifs remplace avantageusement le calcul des racines n-ièmes.
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