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Règle de d'Alembert
La règle de d'Alembert est un critère de convergence pour les séries à termes positifs ou les séries de nombres complexes. Elle affirme que si le rapport tend vers une limite L, alors la série converge absolument si L < 1, et diverge si L > 1. Si L = 1, le critère est inconcluant. Ce critère s'applique en particulier aux séries entières de coefficients cn pour determiner le rayon de convergence : lorsque les quotients de coefficients sont définis à partir d’un certain rang et que existe, , avec les conventions R = +∞ si L = 0 et R = 0 si L = +∞. Il est d'utilisation très courante pour les séries dont les coefficients font intervenir des factorielles ou des puissances.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Former le rapport de deux termes consécutifs et en calculer la limite.
- Associer les cas L inférieur à 1, L supérieur à 1 et L égal à 1 au bon verdict.
- Refaire le calcul complet pour la série de terme n/2^n.
- Relier le rapport des coefficients au rayon d’une série entière.
- Reconnaître les cas où le quotient est indéfini ou sans limite.
En clair
Imaginez une suite de nombres à additionner. Au lieu de calculer leur somme, on compare chaque terme au précédent. Si, à long terme, le nouveau terme représente moins qu’une proportion fixe du précédent, par exemple environ la moitié, les termes rapetissent assez vite pour que la série converge absolument.
La règle de d’Alembert transforme ainsi une question sur une somme infinie en l’étude d’un rapport. Un rapport limite inférieur à 1 conclut à la convergence ; supérieur à 1, il conclut à la divergence. À 1, il faut changer d’outil.
Définition
On considère une série de termes positifs, ou une série de nombres réels ou complexes, dont le terme d’indice n est noté an. Les termes doivent être non nuls à partir d’un certain rang pour que leur quotient soit défini. La règle de d’Alembert étudie la limite L de la valeur absolue du rapport entre deux termes consécutifs.
Si L est strictement inférieure à 1, la série converge absolument. Si L est strictement supérieure à 1, son terme général ne peut pas tendre vers zéro et la série diverge. Lorsque L vaut 1, le critère ne décide rien. Pour une série entière de coefficients cn, la même comparaison donne, lorsque les quotients de coefficients sont définis à partir d’un certain rang et que la limite existe, le rayon de convergence R par , avec les conventions usuelles pour une limite nulle ou infinie.
Le principe
Soit une série de terme général an, réel ou complexe, avec an non nul à partir d’un certain rang. On suppose que le rapport en valeur absolue admet une limite L.
Alors la série converge absolument si L est inférieure à 1 et diverge si L est supérieure à 1. Si L vaut 1, la règle de d’Alembert est inconcluante.
Quand l'utiliser
La règle s’applique à une série numérique à termes réels positifs ou, plus généralement, à termes réels ou complexes. Il faut connaître une expression des termes consécutifs an et an+1, pouvoir former leur rapport à partir d’un certain rang et obtenir une limite. La valeur absolue est indispensable dès que les termes peuvent changer de signe ou être complexes.
Le verdict exige que la limite soit strictement d’un côté de 1. La présence de factorielles ou de puissances rend souvent le quotient plus simple que le terme initial, ce qui explique l’usage fréquent du critère.
Contre-cas concret : pour an = 1/n, le rapport tend vers 1. Le calcul est possible, mais il ne permet aucune conclusion ; il faut alors employer un autre critère de convergence.
Un exemple, pas à pas
Étudions la série dont le terme d’indice entier n, avec n au moins égal à 1, est an = n/2n. Les données sont le facteur n au numérateur, la puissance 2n au dénominateur et des termes strictement positifs.
1. Écrivons le terme suivant : an+1 = (n + 1)/2n+1.
2. Formons puis simplifions le rapport : .
3. Quand n grandit, (n + 1)/(2n) tend vers 1/2. Les premiers rapports, 1, 3/4, 2/3 puis 5/8, restent au-dessus de 1/2 et s’en rapprochent.
4. Comme la limite 1/2 est strictement inférieure à 1, la série converge absolument. Le contrôle est refaisable en remplaçant n par 2 : a3/a2 = (3/8)/(2/4) = 3/4, conformément à la formule. Pour la série entière de coefficients n/2n, le rayon obtenu est R = 2.
En pratique
Devant une série contenant des factorielles, on compare deux termes consécutifs : les facteurs communs se simplifient souvent immédiatement. Si le quotient reste plus compliqué que le terme de départ, un autre critère est préférable.
Avec des puissances, le rapport fait apparaître leur base. Dans l’exemple an = n/2n, le facteur polynomial varie lentement tandis que la puissance impose la limite 1/2. Si la limite obtenue vaut 1, le calcul doit être abandonné au profit d’un critère adapté à la série.
Pour une série entière, on applique le rapport aux coefficients afin d’obtenir le rayon de convergence. Cette méthode est directe lorsque la limite existe ; si les rapports oscillent sans limite, une formulation fondée sur une limite supérieure est plus robuste.
À ne pas confondre
Convergence du terme et convergence de la série. Vérifier que an tend vers zéro est nécessaire, mais ne suffit pas à faire converger la somme. Le cas an = 1/n tranche : les termes tendent vers zéro, tandis que la série diverge.
Règle de d’Alembert et règle de Cauchy. La première compare an+1 à an ; la seconde examine la racine n-ième de |an|. Par exemple, pour an = cn/3n, avec cn égal à 1 si n est pair et à 2 sinon, les rapports alternent entre 2/3 et 1/6, tandis que les racines n-ièmes tendent vers 1/3. La règle de Cauchy conclut donc à la convergence absolue alors que la limite requise par l’énoncé élémentaire de d’Alembert n’existe pas.
Limites et pièges
Le seuil L = 1 ne tranche pas. Les séries de termes 1/n et 1/n2 ont toutes deux un rapport qui tend vers 1 ; la première diverge et la seconde converge. Il faut donc changer de critère au lieu d’interpréter 1 comme une frontière incluse.
Le quotient peut être indéfini. Si une infinité de termes an sont nuls, l’expression an+1/an n’est pas disponible à partir d’un certain rang. La règle sous sa forme limite simple ne s’applique pas ; il faut examiner la série autrement.
La limite peut ne pas exister. Des rapports qui oscillent empêchent d’utiliser l’énoncé élémentaire, même s’ils semblent souvent inférieurs à 1. Une version utilisant les limites supérieure et inférieure, ou un autre critère, doit remplacer le verdict fondé sur une limite absente.
Les signes ne se traitent pas à vue. Pour des termes réels signés ou complexes, oublier la valeur absolue peut produire un rapport trompeur. Le calcul correct porte sur |an+1/an| et conclut, lorsque L est inférieure à 1, à la convergence absolue.
Pour aller plus loin
série entière — Situer le type de série dont le rapport des coefficients détermine le domaine de convergence.
Rayon de convergence — Interpréter la valeur R obtenue à partir du rapport des coefficients.
convergence absolue — Préciser la conclusion fournie quand la limite du rapport est inférieure à 1.
règle de Cauchy — Comparer le test par quotient avec un critère fondé sur les racines n-ièmes.
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