règle de Cauchy

Imaginez une série dont les termes sont 1/4, 1/16, 1/64, puis 1/256. Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 1/4. La règle de Cauchy détecte cette diminution exponentielle en prenant la racine dont l'indice suit le rang du terme.

Si le résultat finit par rester sous une valeur fixe q strictement inférieure à 1, les termes décroissent assez vite pour que leur somme se stabilise. S'il dépasse 1, ils ne tendent même pas vers zéro. À la valeur frontière 1, ce seul test ne décide rien.

La règle de Cauchy, aussi nommée critère de la racine, étudie la convergence d'une série à partir de la croissance exponentielle de son terme général. On considère une série de termes u_n. Pour des termes réels positifs, on examine la racine n-ième de u_n. Si cette suite possède une limite, notée l, alors le verdict dépend de la position de l par rapport à 1.

Le critère s'écrit : $l={\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{u_n}l=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}\; \backslash sqrt[n]\{u\_n\}$. Lorsque l est strictement inférieure à 1, la série converge. Lorsque l est strictement supérieure à 1, y compris lorsque l vaut plus l'infini, la série diverge. Lorsque l vaut 1, aucune conclusion n'est permise.

Pour des termes complexes ou appartenant à un espace de Banach, on mesure d'abord leur taille avec la valeur absolue ou la norme. La quantité étudiée devient $\sqrt[n]{\parallel u_n\parallel }\backslash sqrt[n]\{\backslash lVert\; u\_n\; \backslash rVert\}$. La conclusion l < 1 donne alors une convergence absolue, donc une convergence dans l'espace complet considéré.

Le point décisif est la position stricte de la limite l par rapport à 1. Après avoir calculé la racine n-ième du terme et établi sa limite, on compare donc sa valeur exacte à ce seuil : un écart strict permet d'appliquer le verdict correspondant, tandis que l = 1 impose de choisir un autre critère. Un simple arrondi affiché près de 1 ne suffit pas pour conclure.

La donnée nécessaire est le terme général u_n d'une série. Pour employer la version énoncée ici, les termes sont réels positifs et la suite de leurs racines n-ièmes admet une limite, éventuellement infinie. Dans le cadre complexe ou dans un espace de Banach, il faut disposer d'une valeur absolue ou d'une norme et étudier la taille des termes.

Le seuil doit être strict : seules les situations l < 1 et l > 1 donnent un verdict. Par exemple, les séries de termes 1/n et 1/n² donnent toutes deux une racine n-ième qui tend vers 1, alors que la première diverge et la seconde converge. Lorsque l = 1, il faut donc choisir un autre critère, tel qu'une comparaison avec une série de référence.

On étudie la série dont le terme de rang n, pour n au moins égal à 1, est u_n = (1/4)ⁿ.
Données : le terme général est positif ; la base 1/4 est constante ; l'indice n est un entier positif.

1. On prend la racine n-ième du terme : $\sqrt[n]{u_n}=\sqrt[n]{(1\mathrm{/}4{)}^n}\backslash sqrt[n]\{u\_n\}=\backslash sqrt[n]\{(1/4)^n\}$.

2. Comme 1/4 est positif, la racine annule exactement la puissance n : $\sqrt[n]{(1\mathrm{/}4{)}^n}=1\mathrm{/}4\backslash sqrt[n]\{(1/4)^n\}=1/4$. La suite étudiée est donc constante.

3. Sa limite vaut 1/4. Comme 1/4 < 1, la règle de Cauchy affirme que la série converge.

Le contrôle est direct : les quatre premiers termes sont 1/4, 1/16, 1/64 et 1/256, et leur racine de rang correspondant vaut chaque fois 1/4. La figure rend visible cette stabilité de la racine malgré la diminution rapide des termes.

La règle est particulièrement efficace lorsque le terme général contient une expression élevée à la puissance n. Pour u_n = (1/4)ⁿ, la racine n-ième enlève cette puissance et fait apparaître immédiatement le nombre 1/4.

Si un quotient u_n+1/u_n se simplifie plus directement que la racine n-ième, le critère de d'Alembert peut être plus commode. Le choix dépend donc de la forme observable du terme, non d'une différence de verdict au-dessous du seuil 1.

Lorsque le calcul mène à 1, on s'arrête sans déclarer la série convergente ou divergente. Une comparaison, un équivalent ou un critère adapté à la famille étudiée doit alors prendre le relais.

Avec le critère de d'Alembert. Celui-ci étudie le quotient de deux termes consécutifs, tandis que la règle de Cauchy prend une racine n-ième. Pour u_n = (1/4)ⁿ, les deux donnent 1/4, mais leurs calculs ne se simplifient pas de la même manière pour toute série.

Avec le critère général de Cauchy. Le critère général demande que les sommes de tout bloc de termes assez éloigné deviennent arbitrairement petites. Le critère de la racine, lui, fournit un verdict à partir du seul comportement de la racine n-ième des termes.

Avec la condensation de Cauchy. La condensation transforme certaines séries positives décroissantes en regroupant des termes. La règle présentée ici ne regroupe rien : elle mesure le rythme exponentiel de chaque terme.

Valeur frontière. Si l = 1, le test est muet. Les exemples 1/n et 1/n² montrent que ce résultat peut accompagner aussi bien une divergence qu'une convergence ; il faut changer de critère.

Limite inexistante. La version fondée sur une limite ordinaire ne s'applique pas si les racines n-ièmes oscillent. Une version plus générale utilise alors la limite supérieure : une valeur strictement inférieure à 1 assure la convergence absolue, tandis qu'une valeur supérieure à 1 révèle des termes qui ne tendent pas vers zéro.

Termes signés ou complexes. Prendre directement une racine d'un terme négatif ou complexe rend la lecture ambiguë. Il faut appliquer la racine à sa valeur absolue ou à sa norme.

Seuil arrondi. Une valeur numérique affichée comme 1,000 ne prouve pas que la limite est exactement 1. Avant de conclure, il faut établir la limite exacte ou encadrer rigoureusement sa position par rapport à 1.

La Série géométrique prolonge l'exemple u_n = (1/4)ⁿ et permet de calculer sa somme.

Le critère de d'Alembert propose un test voisin fondé sur le quotient de deux termes consécutifs.

La convergence absolue précise la conclusion obtenue lorsque la règle est appliquée à la valeur absolue ou à la norme.