Série géométrique

Imaginez une barre que l’on complète avec des morceaux de 1 mètre, puis 1/2 mètre, 1/4 de mètre, 1/8 de mètre, et ainsi de suite. Chaque morceau mesure la moitié du précédent : le facteur 1/2 est la raison.

Additionner tous ces morceaux forme une série géométrique. Malgré leur nombre infini, leur longueur totale se rapproche de 2 mètres, car ils rétrécissent assez vite. La raison décide ainsi si l’addition infinie aboutit à une somme finie.

On fixe un nombre réel ou complexe r, appelé raison. Le terme d’indice n est $u_n=r^{n}u\_n=r^n$, où n prend les valeurs entières 0, 1, 2, et ainsi de suite. La série géométrique additionne ces termes. Elle commence donc par 1, puis r, r², r³…

Pour un entier N positif ou nul, la somme partielle S_N s’arrête au terme d’indice N. Lorsque r est différent de 1, elle vérifie :

La série converge si les sommes partielles S_N tendent vers une limite finie lorsque N grandit sans borne.

Cette limite existe si et seulement si le module de la raison r est strictement inférieur à 1. Dans ce cas, les puissances de r tendent vers 0 et :

Si le premier terme est un nombre a plutôt que 1, tous les termes sont multipliés par a. Lorsque a est non nul, la série converge sous la même condition et sa somme vaut a/(1 − r). Lorsque a = 0, la série est nulle : elle converge pour toute raison r et sa somme vaut 0.

Une série géométrique réunit cinq éléments. Le premier terme vaut ici 1. La raison r multiplie chaque terme pour produire le suivant. L’indice n est un entier positif ou nul qui repère le terme rⁿ. Pour un entier N positif ou nul, la somme partielle S_N additionne les termes d’indice 0 à N : N fixe donc explicitement la borne de la somme. Enfin, la limite éventuelle de ces sommes partielles est la somme de la série. La raison détermine donc à la fois les termes et l’évolution de leur taille. Cette évolution détermine à son tour l’existence de la limite. Le choix des lettres ou le tracé d’une barre ne définit pas l’objet. Le premier terme, la raison, le domaine de l’indice et la borne N permettent de construire les termes, calculer S_N et tester la convergence.

Une barre est complétée par des morceaux dont chaque longueur vaut la moitié de la précédente.
Données : le premier morceau mesure 1 m ; la raison r vaut 1/2 ; les quatre premiers morceaux mesurent 1 m, 1/2 m, 1/4 m et 1/8 m ; leur dernier indice est N = 3.

1. On écrit la somme partielle des quatre longueurs : $S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}S\_3=1+\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{8\}$.

2. On les additionne : $S_3=\frac{15}{8}=\mathrm{1,875}S\_3=\backslash frac\{15\}\{8\}=1\{,\}875$. Les quatre morceaux couvrent donc 1,875 m.

3. Comme la valeur absolue de 1/2 est inférieure à 1, la somme infinie existe. Elle vaut $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{1\}\{2\}\}=2$, soit 2 m.

4. On contrôle l’écart : 2 − 1,875 = 0,125 m, soit 1/8 m. Cette valeur égale la somme de tous les morceaux encore absents, et non la seule longueur du morceau suivant.

Le calcul fini et le reste reconstituent bien 1,875 + 0,125 = 2 m. Le total se rapproche de 2 m sans qu’aucune somme partielle finie ne dépasse cette limite.

En analyse, on compare deux termes consécutifs d’une série lorsque leur quotient est défini. Si ce quotient reste égal à une même raison, la formule géométrique s’applique ; s’il varie, il faut choisir un autre critère de convergence.

En probabilités, des issues disjointes atteintes par étapes peuvent avoir des probabilités multipliées par le même facteur. Leur probabilité totale s’obtient alors par une somme géométrique ; si le facteur change, on additionne les valeurs du modèle réel.

En mathématiques financières, des paiements égaux à échéances régulièrement espacées, actualisés à un taux constant par période i tel que 1 + i soit non nul, usuellement i > −1, ont des valeurs successives de rapport constant. Une somme finie convient à un nombre fixé d’échéances ; si le taux ou les paiements changent, le flux doit être calculé terme par terme.

suite géométrique. La suite est la liste ordonnée des termes ; la série est leur addition successive. Pour la raison 1/2, la suite tend vers 0, tandis que les sommes partielles de la série tendent vers 2.

Somme géométrique finie. Elle s’arrête à un indice N et existe pour toute raison. La série infinie exige en plus une limite : avec r = 2, la somme 1 + 2 + 4 est bien définie, mais la série ne converge pas.

Suite arithmétique. Ses termes se distinguent par une différence constante, alors que ceux d’une suite géométrique ont un rapport constant. Ainsi, la suite 1, 2, 3 est arithmétique ; la suite 1, 2, 4 est géométrique.

Le seuil est strict. Lorsque |r| = 1, les termes ne tendent pas vers 0. Avec r = 1, les sommes partielles grandissent ; avec r = −1, elles alternent entre 1 et 0. Dans les deux cas, la série diverge.

La formule infinie a un domaine de validité. Remplacer r par 2 dans 1/(1 − r) donnerait −1, mais les sommes partielles valent 1, 3, 7… et augmentent. Hors de |r| < 1, il faut conserver la formule finie et conclure séparément sur la limite.

Une raison peut être complexe. L’écriture −1 < r < 1 ne convient qu’aux nombres réels. Pour une raison complexe, le symptôme pertinent est la taille de ses puissances ; il faut tester son module |r|.

Le cas r = 0 commence tout de même par 1. Dans cette série, le terme d’indice 0 est le terme constant 1, puis tous les autres termes valent 0. La somme est donc 1, conformément à 1/(1 − 0).

suite géométrique — Relier la liste des termes à la série obtenue en les additionnant.

série entière — Situer la série géométrique parmi les séries dont les termes contiennent des puissances.