AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série des différences
Soit (vn) une suite numérique. On appelle série des différences associée à cette suite la série dont le terme général est vn+1 − vn. La somme partielle d'ordre N de cette série est , ce qui constitue une somme télescopique. Il s'ensuit une équivalence remarquable : la suite (vn) converge si et seulement si la série des différences converge. Ce résultat établit un lien direct entre la convergence d'une suite et la sommabilité des écarts entre termes consécutifs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire la série à partir des écarts entre termes consécutifs.
- Retrouver une somme partielle par annulation télescopique.
- Relier la limite de la suite à la somme de la série.
- Éviter de confondre terme général nul à la limite et convergence de la série.
En clair
Imaginez une altitude relevée à chaque étape d'un parcours. Au lieu d'additionner toutes les altitudes, on additionne les changements entre deux étapes : montée, puis descente, puis nouvelle descente. Les valeurs intermédiaires se compensent. Après plusieurs étapes, le total des changements est simplement l'altitude finale moins l'altitude de départ. Une série des différences applique ce mécanisme aux termes successifs d'une suite.
Définition
On considère une suite numérique dont les termes sont notés v0, v1, v2, …. La suite de ses écarts consécutifs a pour terme d'indice n le nombre an = vn+1 − vn. La série des différences est la série numérique obtenue en additionnant ces termes an à partir de l'indice 0.
Pour un entier naturel N, sa somme partielle d'ordre N contient N + 1 différences. Les termes intérieurs apparaissent une fois avec un signe positif et une fois avec un signe négatif, donc ils s'annulent :
Cette identité est dite télescopique.
La série converge exactement lorsque la suite des sommes partielles SN possède une limite finie. Comme SN = vN+1 − v0, cela arrive si et seulement si la suite (vn) converge. Si sa limite est le nombre L, la somme de la série vaut L − v0.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la série des différences. La suite de départ fournit les termes vn. Les différences consécutives an comparent chacune vn+1 à vn. La somme partielle SN additionne les différences de l'indice 0 à l'indice N. Enfin, la limite, lorsqu'elle existe, décrit le comportement de ces sommes quand N grandit.
L'ordre des termes est essentiel : chaque différence dépend de deux termes voisins et partage l'un d'eux avec la différence suivante. Cette chaîne provoque les annulations et réduit toute somme partielle aux deux extrémités v0 et vN+1. Ces données suffisent à calculer chaque somme partielle, puis à décider de la convergence dès que le comportement limite de la suite de départ est connu.
Un exemple, pas à pas
Prenons la suite définie, pour tout entier naturel n, par .
Données : v0 = 5 ; v1 = 4 ; v2 = 11/3 ; v3 = 7/2.
Données : v0 = 5 ; v1 = 4 ; v2 = 11/3 ; v3 = 7/2.
1. Calculons l'écart d'indice n :
Les trois premiers écarts sont donc −1, −1/3 et −1/6.
2. Additionnons ces trois écarts. La somme partielle d'ordre 2 vaut −1 − 1/3 − 1/6 = −3/2.
3. Contrôlons avec les extrémités : v3 − v0 = 7/2 − 5 = −3/2. Les deux calculs coïncident exactement.
4. Pour un ordre quelconque N, on obtient SN = −2 + 2/(N + 2). Ce nombre tend vers −2. En parallèle, vn tend vers 3 ; la somme de la série vaut bien 3 − 5 = −2. La représentation des premiers termes rend visible la baisse cumulée vers cette limite.
En pratique
Pour additionner des écarts consécutifs, on cherche d'abord les annulations. Si chaque terme vn+1 apparaissant avec un signe positif réapparaît juste après avec un signe négatif, le calcul par les deux extrémités remplace une longue addition. À défaut de cette structure, il faut sommer les termes par une autre méthode.
Pour étudier la convergence d'une suite, sa série des différences offre un critère équivalent. Le bon réflexe est de calculer SN = vN+1 − v0 ; si cette expression a une limite finie, la suite en a une aussi.
Réciproquement, lorsqu'une série est déjà écrite sous la forme vn+1 − vn, on peut retrouver les valeurs de la suite à partir de v0 et des sommes partielles. Cette reconstruction est préférable à un calcul terme par terme lorsque la somme partielle est connue.
À ne pas confondre
Suite des différences et série des différences. La première est la suite (an) des écarts an = vn+1 − vn ; la seconde additionne ces écarts. Pour vn = n, la suite des différences est constamment égale à 1, tandis que sa série diverge.
Différence de deux séries. Soustraire terme à terme deux séries données produit des termes un − wn. Une série des différences exige au contraire deux termes consécutifs d'une même suite. Le test consiste à vérifier que le second terme porte l'indice n + 1.
Limites et pièges
Des différences qui tendent vers 0 ne suffisent pas. Pour vn = log(n + 1), l'écart vn+1 − vn tend vers 0, mais la suite vn et la série des différences divergent. Il faut examiner les sommes partielles, pas seulement leur terme général.
Convergence ne signifie pas convergence absolue. L'équivalence avec la convergence de (vn) porte sur la série des différences avec ses signes. Exiger en plus la convergence de la série des valeurs absolues |vn+1 − vn| impose une condition plus forte : une variation totale finie.
L'indice de départ change la somme. En commençant à l'indice 1 plutôt qu'à 0, la somme partielle devient vN+1 − v1. La convergence reste la même, mais la somme limite est décalée de v0 − v1. Il faut conserver la convention annoncée.
Pour aller plus loin
Somme télescopique. Approfondir le mécanisme d'annulation qui réduit une longue somme à quelques termes de bord.
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