AnalyseObjet mathématique · Glossaire
semi-convergence d'une série numérique
Une série numérique est semi-convergente lorsqu’elle converge sans converger absolument : la série des valeurs absolues de ses termes diverge. Les signes permettent donc des compensations essentielles ; pour reconnaître cette situation, il faut établir la convergence de la série elle-même et la divergence de la série des valeurs absolues.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer convergence, convergence absolue et semi-convergence.
- Appliquer le critère de Leibniz avec ses hypothèses.
- Refaire le classement de la série harmonique alternée.
- Repérer les pièges liés aux signes, à la limite des termes et à leur ordre.
En clair
Imaginez une suite d'ajouts et de retraits : +1, −1/2, +1/3, −1/4, et ainsi de suite. Les sommes obtenues avancent et reculent, mais leurs oscillations se resserrent progressivement. Elles finissent par s'approcher d'une valeur précise.
Si l'on oublie les signes, tous les termes deviennent positifs. Leur cumul continue alors de croître sans limite. La série est donc semi-convergente : les compensations entre signes la font converger, alors que la somme des tailles de ses termes diverge.
Définition
Considérons une suite de nombres notés un. La série associée additionne ces termes à partir d'un indice fixé. Sa somme partielle d'ordre N, notée SN, est la somme des N premiers termes. La série converge lorsque les nombres SN tendent vers une limite finie quand N grandit.
La semi-convergence exige simultanément deux comportements : converge, tandis que diverge. Elle est aussi appelée convergence conditionnelle. Les signes des termes, et pas seulement leur taille, participent donc au résultat.
Le critère de Leibniz fournit un cas classique. Si les nombres positifs an décroissent et tendent vers 0, alors la série alternée de terme général (−1)n+1an converge. Pour conclure à la semi-convergence, il reste à vérifier séparément que la série de terme an diverge.
De quoi c'est fait
Une série semi-convergente met en jeu quatre éléments. Les termes un apportent chacun une taille et un signe. Les sommes partielles SN suivent leur cumul dans l'ordre choisi. La série d'origine conserve les signes ; sa convergence constitue la première condition. La série des valeurs absolues remplace chaque terme par |un| ; sa divergence constitue la seconde.
Les sommes partielles dépendent donc à la fois des tailles et de l'ordre des signes. La série des valeurs absolues, elle, ne garde que les tailles. Ces données suffisent à classer la série : convergence absolue si les deux séries convergent, semi-convergence si seule la série signée converge, divergence si la série signée ne converge pas.
Un exemple, pas à pas
Données. On considère les entiers n à partir de 1 et les termes un = (−1)n+1/n. Les signes alternent, et la taille du terme d'indice n vaut 1/n.
1. Les premières sommes partielles sont S1 = 1, S2 = 1/2, S3 = 5/6 et S4 = 7/12. Elles passent alternativement au-dessus et au-dessous de leur limite.
2. La suite positive 1/n décroît et tend vers 0. Le critère de Leibniz prouve donc que la série signée converge.
3. Après passage aux valeurs absolues, on obtient la série harmonique :
Cette série diverge. Les deux conditions de la semi-convergence sont ainsi vérifiées.
Contrôle. Les dix premières sommes partielles signées restent entre 1/2 et 1, tandis que les sommes des valeurs absolues passent de 1 à environ 2,929. Le contraste visible correspond bien aux deux verdicts.
En pratique
Pour classer une série, on étudie d'abord la série des valeurs absolues. Si elle converge, la série d'origine converge absolument. Si elle diverge, il faut encore examiner la série signée : sa convergence éventuelle donnera la semi-convergence.
Pour une série alternée, le critère de Leibniz est adapté lorsque la taille des termes décroît vers 0. Si cette décroissance n'est pas établie, il faut choisir un autre critère plutôt que conclure à partir de la seule alternance des signes.
Pour approcher la somme d'une série vérifiant les hypothèses de Leibniz, l'erreur après le terme d'indice N ne dépasse pas la taille du terme suivant. On arrête le calcul lorsque cette taille devient inférieure à la précision recherchée.
À ne pas confondre
Convergence absolue. Une série absolument convergente reste convergente après remplacement de chaque terme par sa valeur absolue. La série harmonique alternée tranche : elle converge, mais la série harmonique obtenue par valeurs absolues diverge ; sa convergence n'est donc pas absolue.
Divergence de la série d'origine. La divergence de la série des valeurs absolues ne suffit pas à parler de semi-convergence. Il faut que les sommes partielles signées convergent. Pour la série harmonique, dont tous les termes sont positifs, ces sommes croissent sans limite : elle est divergente, et non semi-convergente.
Limites et pièges
Des signes alternés ne suffisent pas. Si la taille des termes ne tend pas vers 0, la série diverge. Le symptôme est immédiat : les termes ajoutés ne deviennent pas négligeables. Il faut vérifier cette limite avant d'appliquer le critère de Leibniz.
Tendre vers 0 ne suffit pas non plus. Les termes 1/n tendent vers 0, mais leur série diverge. Cette limite est une condition nécessaire de convergence, pas un critère complet ; il faut étudier les sommes partielles ou employer un critère adapté.
L'ordre des termes devient sensible. Pour une série semi-convergente, une réorganisation des termes peut modifier la somme, voire faire disparaître la convergence. Il faut donc conserver l'ordre annoncé, contrairement au cas d'une série absolument convergente.
Quelques termes ne décident pas du verdict. Changer, ajouter ou retirer un nombre fini de termes peut déplacer la somme, mais ne transforme pas la convergence de la partie infinie. Le classement repose sur le comportement lorsque l'indice tend vers l'infini.
Pour aller plus loin
La convergence absolue donne le point de comparaison naturel : elle explique pourquoi la somme ne dépend plus des compensations fragiles entre termes positifs et négatifs.
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