série harmonique alternée

Additionnez 1, retirez 1/2, ajoutez 1/3, retirez 1/4, et continuez ainsi. Les sommes obtenues valent successivement 1, 1/2, 5/6 et 7/12. Elles passent d’un côté à l’autre d’une même valeur, tandis que chaque correction devient plus petite.

Cette alternance stabilise la somme : les résultats se rapprochent de ln(2), environ 0,693. Sans les signes alternés, l’addition 1 + 1/2 + 1/3 + … ne se stabilise pas.

La série harmonique alternée additionne les inverses des entiers positifs en changeant de signe à chaque rang. L’entier positif k désigne le rang du terme. Son terme général est $\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}\backslash frac\{(-1)^\{k+1\}\}\{k\}$ : il est positif lorsque k est impair et négatif lorsque k est pair.

Pour un entier positif n, la somme partielle H_n additionne seulement les n premiers termes : $H_n={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\frac{1}{k}H\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}(-1)^\{k+1\}\backslash frac\{1\}\{k\}$. Les valeurs absolues 1/k diminuent et tendent vers 0. Le critère des séries alternées garantit donc que la suite formée par les sommes H_n converge.

Sa limite est le logarithme népérien de 2 : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{H}_n=\ln (2)\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; +\backslash infty\}H\_n=\backslash ln(2)$. Les sommes de rang impair sont au-dessus de cette limite et celles de rang pair au-dessous. La convergence n’est pas absolue : remplacer chaque terme par sa valeur absolue redonne la série harmonique ordinaire, qui diverge.

La série repose sur cinq éléments liés. Le rang k parcourt les entiers à partir de 1. Le facteur (−1)^k+1 impose les signes +, −, +, −… Le dénominateur k donne au terme la taille 1/k, qui diminue vers 0. La somme partielle H_n arrête l’addition après le rang n. Enfin, ln(2) est la limite approchée lorsque n grandit.

Le rang commande donc à la fois le signe et la taille du terme ajouté. Le signe fait passer les sommes partielles de part et d’autre de ln(2), tandis que la diminution de 1/k resserre ces écarts. Ces données suffisent à construire chaque terme, calculer toute somme partielle et encadrer la limite entre deux sommes consécutives.

Données. On calcule la somme partielle H₆ avec les six rangs k = 1, 2, 3, 4, 5 et 6. La valeur de comparaison est ln(2), environ 0,693.

1. Les signes alternent en commençant par + : $H_6=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}H\_6=1-\backslash frac12+\backslash frac13-\backslash frac14+\backslash frac15-\backslash frac16$.

2. Avec le dénominateur commun 60, les numérateurs deviennent 60, −30, 20, −15, 12 et −10. Leur somme vaut 37.

3. On obtient $H_6=\frac{37}{60}\approx \mathrm{0,617}H\_6=\backslash frac\{37\}\{60\}\backslash approx\; 0\{,\}617$. Comme le rang 6 est pair, cette valeur se trouve au-dessous de ln(2).

4. Le terme suivant vaut 1/7. La somme H₇ vaut donc 37/60 + 1/7 = 319/420, soit environ 0,760 ; elle repasse au-dessus de ln(2).

Contrôle. La valeur 0,693 est bien comprise entre H₆ ≈ 0,617 et H₇ ≈ 0,760. L’écart entre ces deux bornes vaut exactement 1/7. Le tracé des dix premières sommes rend visible le resserrement des rangs pairs et impairs autour de la limite.

Pour décider si cette série converge, on observe les signes alternés et les tailles 1/k, qui diminuent vers 0. Le critère des séries alternées donne alors la convergence. Si les signes n’alternent pas ou si les tailles ne tendent pas vers 0, ce critère ne permet pas de conclure.

Pour approcher ln(2), on calcule H_n. Une somme de rang pair fournit une valeur inférieure, et la somme impaire suivante une valeur supérieure. On augmente n jusqu’à ce que l’intervalle entre ces deux valeurs soit assez étroit pour la précision recherchée.

Pour tester une convergence absolue, on retire mentalement les signes. Ici, la série obtenue est la série harmonique ordinaire, qui diverge. Il faut donc conserver l’alternance dans le raisonnement.

Avec la série harmonique. La série harmonique additionne 1/k avec des signes toujours positifs et diverge. La série harmonique alternée change de signe à chaque rang et converge vers ln(2). Au rang 2, leurs sommes valent déjà 3/2 et 1/2 : ce test sépare immédiatement les deux objets.

Avec une série alternée quelconque. Une série est alternée lorsque le signe prescrit change à chaque rang : son terme général peut s’écrire (−1)^ka_k avec a_k ≥ 0, les éventuels termes nuls n’ayant pas de signe. Elle n’est harmonique alternée que si la taille du terme de rang k est exactement 1/k. Par exemple, remplacer 1/k par une autre suite de tailles définit un autre objet, même si les signes restent +, −, +, −…

Un terme qui tend vers 0 ne suffit pas. Le symptôme trompeur est de conclure dès que 1/k devient petit. La série harmonique ordinaire a elle aussi des termes qui tendent vers 0, mais elle diverge. Il faut vérifier un critère portant sur la série entière ; ici, l’alternance et la décroissance des tailles fournissent ce critère.

Une somme partielle n’est pas la limite. Au rang 1, H₁ = 1 ; au rang 2, H₂ = 1/2. Ni l’une ni l’autre ne vaut ln(2). Pour une approximation contrôlée, on encadre ln(2) entre une somme paire et la somme impaire suivante.

Le signe initial dépend de la convention. Avec (−1)^k+1/k et k commençant à 1, le premier terme vaut +1. Employer (−1)^k/k avec le même départ change tous les signes et conduit à −ln(2). Il faut contrôler simultanément l’exposant et le premier rang.

Convergence sans convergence absolue. L’alternance fait converger la série, mais la somme des valeurs absolues redonne 1 + 1/2 + 1/3 + …, qui diverge. Supprimer les signes détruit donc précisément le mécanisme qui stabilise les sommes partielles.

série alternée — Replace l’exemple harmonique dans la famille générale des séries dont les termes changent de signe.

série harmonique — Montre ce qui arrive lorsque les mêmes inverses sont additionnés sans alternance de signe.

fonction logarithme népérien — Situe ln(2), la valeur exacte vers laquelle convergent les sommes partielles.