fonction logarithme népérien

Une quantité passe de 1 à 20 en se multipliant continuellement. Le logarithme népérien de 20 mesure la durée nécessaire si, à partir de t = 0, cette croissance suit exactement la loi e^t. Cette durée vaut environ 2,996 unités de temps.

La fonction ln défait ainsi l'exponentielle : elle transforme une multiplication en addition. Par exemple, multiplier par 2 puis par 10 revient, avec ln, à additionner ln(2) et ln(10).

Le logarithme naturel, aussi appelé logarithme népérien et noté ln, est l'unique primitive de la fonction qui associe 1/x au nombre réel positif x, avec la normalisation ln(1) = 0. Il est donc défini seulement pour x > 0 et sa dérivée vaut 1/x. Comme cette dérivée est positive, ln est strictement croissante. Son image est l'ensemble des nombres réels.

Le nombre e, environ égal à 2,71828, est la base de la fonction exponentielle. Les fonctions ln et exponentielle sont réciproques : pour tout réel t et tout réel positif x, $\ln (e^t)=t\text{et}{e}^{\ln x}=x\backslash ln(e^t)=t\; \backslash quad\; \backslash text\{et\}\; \backslash quad\; e^\{\backslash ln\; x\}=x$. En particulier, ln(e) = 1.

Pour des réels positifs x et y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) et ln(x/y) = ln(x) − ln(y). Pour un réel n et un réel positif x, ln(xⁿ) = n ln(x). Enfin, lorsque la base a est positive et différente de 1, le logarithme en base a vérifie ${\log }_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}\backslash log\_a(x)=\backslash frac\{\backslash ln\; x\}\{\backslash ln\; a\}$.

Quatre éléments structurent la fonction ln. Son domaine contient exactement les réels strictement positifs. Sa normalisation, ln(1) = 0, choisit une primitive précise parmi toutes celles de 1/x. Sa dérivée, égale à 1/x, impose sa croissance et relie ln au calcul intégral. Enfin, son rôle de réciproque de l'exponentielle permet de résoudre une équation où l'inconnue figure dans un exposant.

Le domaine rend aussi possibles les identités sur les produits, quotients et puissances : leurs arguments doivent rester positifs. La base e et la normalisation se répondent, puisque ln(e) = 1. Ces données suffisent à calculer des valeurs, étudier la courbe et convertir un logarithme d'une autre base. La couleur ou l'échelle d'un tracé ne fait pas partie de la définition.

Une quantité initialement égale à 1 suit la loi exponentielle e^t. On cherche le temps réel t auquel elle atteint 20. Les données sont donc la valeur initiale 1, la valeur finale 20 et l'équation e^t = 20.

1. Appliquer ln aux deux membres donne ln(e^t) = ln(20).
2. Utiliser le fait que ln défait l'exponentielle donne t = ln(20).
3. Évaluer cette valeur donne t ≈ 2,9957, soit environ 2,996 unités de temps.

Le contrôle consiste à repartir du résultat : e^2,9957 ≈ 19,9994, ce qui retrouve 20 à la précision de l'arrondi. Avec la valeur non arrondie ln(20), l'exponentielle redonne exactement 20. Le graphique rend visible l'intersection qui correspond à ce calcul.

Pour isoler un exposant dans une équation comme e^t = 20, on applique ln. Si l'inconnue n'est pas dans un exposant, les opérations algébriques usuelles sont souvent plus directes.

Pour transformer un produit de facteurs positifs en somme, on utilise ln(xy) = ln(x) + ln(y). Cette écriture est utile lorsque les multiplications s'accumulent ; pour quelques facteurs simples, le calcul direct peut suffire.

En calcul intégral, reconnaître 1/x conduit à ln(x) sur un intervalle positif. Si la variable traverse 0 ou devient négative, cette primitive réelle ne convient plus sous cette forme.

ln et logarithme décimal. ln est le logarithme de base e, tandis que le logarithme décimal est de base 10. Le test immédiat est la valeur de la base : ln(e) = 1, alors que le logarithme décimal de 10 vaut 1.

Fonction réciproque et inverse multiplicatif. Dire que ln est la réciproque de l'exponentielle signifie que l'une défait l'action de l'autre. Cela ne signifie pas que ln(x) vaut 1/e^x. Par exemple, ln(1) = 0, tandis que 1/e est positif.

À zéro. ln(0) n'existe pas dans les nombres réels. Quand un réel positif x se rapproche de 0, ln(x) décroît sans borne vers −∞ ; il ne prend jamais la valeur −∞.

Arguments négatifs. La fonction logarithme népérien réelle n'est pas définie pour x < 0. Une calculatrice réelle signale donc une erreur ; le logarithme complexe relève d'un autre cadre.

Identités sans conditions. Les règles ln(xy), ln(x/y) et ln(xⁿ) employées ici supposent des arguments réels positifs. Avant de développer un logarithme, il faut vérifier ces signes plutôt que manipuler seulement l'écriture.

Aux grandes valeurs. ln(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, mais sa croissance ralentit puisque sa dérivée 1/x tend vers 0. Une courbe de plus en plus plate n'implique donc pas une limite finie.

La fonction exponentielle éclaire la relation de réciprocité utilisée pour résoudre e^t = 20.

Le nombre e précise l'origine de la base naturelle et son rôle dans l'écriture de l'exponentielle.