fonction logarithme décimal

Écrivez quelques puissances de 10 : 0,01, 0,1, 1, 10, 100. Le logarithme décimal leur associe respectivement les exposants −2, −1, 0, 1 et 2. Il répond ainsi à une question concrète : « À quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir ce nombre ? »

Cette lecture transforme aussi une multiplication en addition et une division en soustraction. C'est ce mécanisme qui rendait les tables de logarithmes si utiles pour le calcul numérique.

La fonction logarithme décimal est le logarithme de base 10. Pour un nombre réel strictement positif x, sa valeur, notée log(x) ou log₁₀(x), est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x. Son domaine est donc ℝ₊*, l'ensemble des réels strictement positifs. Pour tout entier n, $\log ({10}^n)=n\backslash log(10^n)=n$.

Lorsque x et y sont strictement positifs, le produit devient une somme et le quotient une différence : $\log (xy)=\log (x)+\log (y)\backslash log(xy)=\backslash log(x)+\backslash log(y)$ et $\log \left(\frac{x}{y}\right)=\log (x)-\log (y)\backslash log\backslash left(\backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right)=\backslash log(x)-\backslash log(y)$. Pour tout entier n, une puissance vérifie $\log (x^n)=n\log (x)\backslash log(x^n)=n\backslash log(x)$. Ces identités facilitaient considérablement la construction et la lecture des tables de calcul numérique. Avant l'avènement des calculatrices électroniques, les tables de logarithmes décimaux constituaient l'outil de calcul numérique indispensable aux ingénieurs et aux scientifiques.

Le logarithme népérien, noté ln, donne la même information dans une autre base. Le passage de l'un à l'autre s'écrit $\log (x)=\frac{\ln (x)}{\ln (10)}\approx \frac{\ln (x)}{\mathrm{2,3026}}\backslash log(x)=\backslash frac\{\backslash ln(x)\}\{\backslash ln(10)\}\backslash approx\backslash frac\{\backslash ln(x)\}\{2\{,\}3026\}$.

Quatre éléments organisent la fonction. La base 10 fixe les puissances de référence. L'entrée est un réel x strictement positif. La sortie log(x) est l'exposant correspondant. Enfin, les règles algébriques relient produits, quotients et puissances à des additions, soustractions et multiplications d'exposants.

La base détermine donc la sortie, tandis que le domaine détermine quelles entrées sont admises. Ensemble, ces données suffisent à calculer exactement le logarithme de toute puissance entière de 10 et à décomposer certains calculs à l'aide des identités. Le schéma met en regard les trois puissances de 10 utilisées dans l'exemple et leurs exposants.

On veut calculer le logarithme décimal du quotient 1 000 ÷ 10. Les données sont 1 000 = 10³, 10 = 10¹ et la règle qui transforme un quotient de nombres positifs en différence de logarithmes.

1. Le quotient vaut 1 000 ÷ 10 = 100.

2. Appliquer la règle du quotient : $\log \left(\frac{1000}{10}\right)=\log (1000)-\log (10)\backslash log\backslash left(\backslash frac\{1000\}\{10\}\backslash right)=\backslash log(1000)-\backslash log(10)$.

3. Lire les exposants : log(1 000) = 3 et log(10) = 1. La différence vaut donc 3 − 1 = 2.

4. Le résultat est log(100) = 2, sans unité. Le contrôle est direct : 10² = 100, qui est bien le quotient calculé au départ.

Pour lire une puissance de 10, on repère son exposant : log(1 000) vaut 3 parce que 1 000 = 10³. Cette lecture directe est préférable à une conversion par ln lorsque le nombre est déjà une puissance de 10.

Pour un produit ou un quotient de nombres positifs, on peut remplacer le calcul par une somme ou une différence de logarithmes. Avant les calculatrices électroniques, ce geste permettait aux ingénieurs et aux scientifiques d'utiliser des tables numériques.

Si une valeur de ln est disponible, on obtient le logarithme décimal en divisant par ln(10). Le critère de choix est donc la donnée connue : puissance de 10, table décimale ou valeur du logarithme népérien.

Le logarithme décimal et le logarithme népérien n'ont pas la même base. Le premier est associé à 10 et le second est noté ln. Un test tranche immédiatement : log(10) = 1, tandis que ln(10) ≈ 2,3026. Pour convertir une valeur népérienne, il faut la diviser par ln(10).

Entrée nulle. Le seuil est strict : 0 n'appartient pas à ℝ₊*. L'écriture log(0) n'est donc pas définie dans le domaine réel ; il ne faut pas lui attribuer un exposant ordinaire.

Entrée négative. Si x est négatif, log(x) sort également du domaine réel de la fonction décrite ici. Il faut d'abord vérifier que chaque argument d'un logarithme est strictement positif.

Identités utilisées sans hypothèses. Dans les règles du produit et du quotient, x et y doivent être strictement positifs. Cette condition garantit aussi que le dénominateur y n'est pas nul.

Conversion arrondie. Dans log(x) ≈ ln(x)/2,3026, le signe ≈ signale que 2,3026 est une approximation de ln(10). Pour conserver l'égalité exacte, il faut garder ln(10) au dénominateur.

Fonction logarithme népérien — Étudier l'autre logarithme cité dans la conversion et préciser le rôle de ln(10).