table de Briggs

Imaginez un navigateur du XVII^e siècle devant multiplier de grands nombres sans calculatrice. Il cherche chaque nombre dans un livre, lit son logarithme, puis remplace la multiplication par une addition. Une seconde lecture de la table donne le résultat.

La table de Briggs est ce livre de correspondances en base 10. Publiée par Henry Briggs en 1624, elle donnait les logarithmes décimaux d'entiers avec 14 décimales et allégeait notamment les calculs de navigation.

Une table de Briggs associe à des nombres strictement positifs leur logarithme décimal, c'est-à-dire leur logarithme en base 10. Pour un nombre positif x, le nombre noté log₁₀(x) est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x. Ainsi, log₁₀(100) = 2 parce que 10² = 100.

L'intérêt calculatoire vient de la propriété suivante, valable pour deux nombres positifs a et b : $lo{g}_{10}(ab)=lo{g}_{10}(a)+lo{g}_{10}(b)log\_\{10\}(ab)=log\_\{10\}(a)+log\_\{10\}(b)$. Une multiplication devient donc une addition de valeurs lues dans la table ; une lecture inverse ramène ensuite au produit. De même, une division devient une soustraction.

Dans l'Arithmetica logarithmica de 1624, Briggs publia les logarithmes décimaux des entiers avec 14 décimales. La source associe aussi ses travaux à des tables de sinus et de tangentes, à une méthode angulaire par arc tangente et à la lignée de calcul qui conduit à CORDIC.

On rencontre la table de Briggs dans un ouvrage de calcul imprimé, en particulier l'Arithmetica logarithmica publiée en 1624. Le support met en regard des entiers et de longues suites décimales : ce sont leurs logarithmes en base 10. La précision annoncée atteint 14 décimales.

Trois indices permettent de l'identifier sans calcul : le nom de Henry Briggs, la mention des logarithmes décimaux et l'organisation en valeurs numériques à consulter. Des tables de sinus et de tangentes peuvent accompagner ce travail. L'information portée n'est pas le produit lui-même, mais l'exposant de 10 associé à chaque nombre.

La grandeur lue est le logarithme décimal d'un nombre positif. Pour calculer un produit, on procède en quatre temps. 1. Chercher le premier facteur et relever son logarithme. 2. Faire de même avec le second. 3. Additionner les deux valeurs. 4. Chercher, en sens inverse, le nombre dont le logarithme est cette somme.

La convention essentielle est la base 10. Par exemple, multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme. Il ne faut donc pas regarder seulement les chiffres après la virgule : la partie entière situe l'ordre de grandeur. Avec une table arrondie, la dernière lecture fournit généralement une approximation, même si le produit mathématique possède une valeur exacte.

Calculons 20 × 30 avec une table limitée ici à cinq décimales. Les données sont les deux facteurs positifs 20 et 30, les lectures log₁₀(20) ≈ 1,30103 et log₁₀(30) ≈ 1,47712, et la règle qui transforme un produit en somme.

1. Relevons les deux logarithmes : 1,30103 et 1,47712.

2. Additionnons les lectures : 1,30103 + 1,47712 = 2,77815. Le schéma conserve ces mêmes valeurs et leur ordre d'utilisation.

3. Effectuons la lecture inverse : le nombre dont le logarithme décimal vaut environ 2,77815 est environ 600. L'arrondi des logarithmes explique le signe d'approximation.

4. Contrôlons directement : 20 × 30 = 600, valeur exacte. La méthode par table retrouve donc le bon produit à la précision choisie.

En navigation maritime, les tables de Napier et de Briggs remplaçaient des multiplications longues par des additions plus maniables. Le geste utile était de consulter les logarithmes, d'effectuer l'addition, puis de revenir au nombre cherché.

Pour une multiplication ou une division simple, le calcul direct reste préférable. La table prend son intérêt lorsque les nombres rendent l'opération écrite lourde et qu'une approximation à la précision de la table suffit.

Pour les calculs angulaires, Briggs dressa aussi des tables de sinus et de tangentes et employa la fonction arc tangente. Dans une calculatrice moderne, la consultation imprimée disparaît ; la source rattache cependant cette méthode de calcul à l'origine de l'algorithme CORDIC.

Une table de Briggs est un support de consultation ; la fonction logarithme décimal est la règle mathématique qui associe un nombre positif à son exposant en base 10. Si l'on feuillette des valeurs précalculées, il s'agit de la table ; si l'on étudie la variation de log₁₀(x), il s'agit de la fonction.

Le logarithme décimal est en base 10, tandis que le logarithme népérien est en base e. Le test est la base : log₁₀(100) = 2, alors que le logarithme népérien de 100 n'est pas 2. La source signale que « logarithme de Briggs » est parfois employé, par abus de langage, pour le premier.

À zéro ou pour un nombre négatif, une table réelle de logarithmes décimaux ne donne pas de valeur : le logarithme réel n'est défini que pour un nombre strictement positif. Il faut donc vérifier le signe avant toute consultation.

Une valeur imprimée avec un nombre fini de décimales est arrondie. Après addition puis lecture inverse, le résultat peut donc différer légèrement du résultat exact. Il faut annoncer la précision utilisée et réserver le signe = aux égalités exactes.

La partie décimale seule ne fixe pas l'ordre de grandeur. Les nombres 2, 20 et 200 ont des logarithmes dont les parties décimales coïncident, mais leurs parties entières diffèrent de 1 en 1. Oublier cette partie entière décale le résultat d'un facteur 10, 100 ou davantage.

Enfin, appeler tout logarithme décimal « logarithme de Briggs » relève de l'abus de langage signalé par la source. Pour lever l'ambiguïté dans un calcul, il vaut mieux préciser explicitement « logarithme en base 10 ».

La fonction logarithme décimal formalise la correspondance numérique imprimée dans la table et ses propriétés de calcul.

La fonction logarithme népérien permet de comparer la base e à la base 10 et d'éviter un abus de vocabulaire.

L'algorithme CORDIC prolonge l'histoire vers les calculs de fonctions effectués par les calculatrices modernes.