table de logarithmes

Imaginez un livre où chaque nombre est placé en regard d'un autre nombre déjà calculé. Pour multiplier 23 par 47, on y relève deux logarithmes, on les additionne, puis on parcourt la table en sens inverse. On obtient ainsi le produit sans poser la multiplication.

Cette astuce transforme une opération difficile en une addition. La table joue le rôle d'une mémoire de calcul imprimée : plus elle donne de décimales et plus le résultat final peut être précis.

Une table de logarithmes associe des nombres strictement positifs à des valeurs approchées de leurs logarithmes dans une base fixée. La base doit être connue pour lire correctement le tableau. Les tables usuelles de calcul emploient souvent la base 10 ; d'autres tables peuvent adopter une autre base.

Pour deux nombres strictement positifs, notés a et b, la propriété qui rend l'outil efficace est : Une multiplication est donc remplacée par l'addition de deux valeurs lues. La recherche inverse, appelée recherche de l'antilogarithme, restitue ensuite une valeur approchée du produit. Une division devient de même une soustraction de logarithmes.

Les lignes peuvent porter sur des entiers ou sur des fonctions trigonométriques comme le sinus et le cosinus. Lorsqu'une valeur manque entre deux entrées, une interpolation en fournit une estimation. La précision dépend alors du nombre de décimales imprimées et de la qualité de cette interpolation.

Dans un ancien manuel de calcul, la table se reconnaît à ses pages serrées de nombres rangés par lignes et colonnes. Un en-tête indique la grandeur tabulée et, normalement, la base du logarithme. Les premières colonnes donnent des entrées ; les suivantes affichent leurs logarithmes avec un nombre fixe de décimales. Des colonnes auxiliaires peuvent aider à interpoler entre deux entrées.

On rencontre aussi des tables consacrées aux sinus et aux cosinus. L'ensemble porte une information pré-calculée : il remplace le calcul direct par une lecture, une addition ou une soustraction, puis une lecture inverse.

La grandeur lue est le logarithme du nombre cherché, dans la base annoncée par la table. Pour une multiplication en base 10, la lecture suit quatre étapes.

1. Repérez chaque nombre dans les lignes et les colonnes.
2. Relevez son logarithme décimal en respectant le nombre de décimales imprimées.
3. Additionnez les deux logarithmes.
4. Cherchez l'antilogarithme de la somme ; interpolez seulement si la somme tombe entre deux valeurs.

Un piège consiste à ne regarder que les décimales. En base 10, la partie entière du logarithme situe l'ordre de grandeur et déplace la virgule du résultat. Le bon réflexe est de conserver la valeur complète pendant l'addition, puis de signaler l'arrondi imposé par la table.

On veut multiplier 23 par 47 avec une table de logarithmes décimaux donnant quatre chiffres après la virgule. Les données sont les nombres 23 et 47, la base 10 et la précision de quatre décimales. Le schéma associé rend visible le trajet des deux lectures jusqu'à l'antilogarithme.

1. La table donne ${\log }_{10}(23)\approx \mathrm{1,3617}\backslash log\_\{10\}(23)\backslash approx1\{,\}3617$.

2. Elle donne aussi ${\log }_{10}(47)\approx \mathrm{1,6721}\backslash log\_\{10\}(47)\backslash approx1\{,\}6721$.

3. On additionne les valeurs tabulées : $\mathrm{1,3617}+\mathrm{1,6721}=\mathrm{3,0338}1\{,\}3617+1\{,\}6721=3\{,\}0338$.

4. La lecture inverse fournit ${10}^{\mathrm{3,0338}}\approx \mathrm{1080,9}10^\{3\{,\}0338\}\backslash approx1080\{,\}9$. Avec cette table, le produit estimé est donc 1 080,9, sans unité.

Le contrôle par multiplication directe donne exactement 23 × 47 = 1 081. L'écart de 0,1 vient des logarithmes arrondis ; il est cohérent avec la précision annoncée.

En astronomie et dans d'autres calculs scientifiques effectués à la main, on consultait une table pour remplacer les longues multiplications par des additions. Une table plus détaillée était préférée lorsqu'un résultat à davantage de décimales était nécessaire.

Pour une valeur située entre deux lignes, on estimait le logarithme par interpolation. La lecture directe d'une ligne suffisait lorsque l'entrée y figurait exactement ; l'interpolation devenait utile dans le cas contraire.

La règle à calcul exploite la même transformation, mais l'addition des logarithmes y est réalisée par le déplacement d'une réglette. Depuis l'arrivée des calculatrices électroniques, celles-ci sont préférées pour obtenir directement et rapidement davantage de chiffres.

Une table de logarithmes n'est pas une table de multiplication. La première donne le logarithme de chaque entrée et demande une addition suivie d'une lecture inverse ; la seconde fournit directement un produit, comme 23 × 47.

Elle n'est pas non plus une règle à calcul. La table stocke des valeurs numériques imprimées, tandis que la règle matérialise les échelles logarithmiques sur des pièces coulissantes. Dans les deux cas, la multiplication repose cependant sur l'addition de logarithmes.

Enfin, le logarithme et l'antilogarithme sont des opérations inverses. Chercher le logarithme de 23 produit environ 1,3617 en base 10 ; chercher l'antilogarithme de 1,3617 ramène approximativement à 23.

Une table réelle contient des valeurs arrondies. Avec quatre décimales, l'exemple donne 1 080,9 au lieu du produit exact 1 081. Il faut donc annoncer le résultat comme une approximation et choisir une table plus précise si l'écart admissible est plus petit.

Dans les nombres réels, le logarithme n'est tabulé que pour des entrées strictement positives. Une entrée nulle ou négative bloque la procédure : aucune lecture réelle correspondante ne doit être inventée.

La base n'est pas un détail interchangeable. Un nombre possède des logarithmes différents en base 10 et dans une autre base. Il faut identifier la base indiquée par l'ouvrage et utiliser la même base lors de la recherche de l'antilogarithme.

L'interpolation ajoute une estimation entre deux valeurs déjà arrondies. Multiplier les décimales affichées ou lire une colonne voisine comme une valeur exacte donne une précision illusoire ; le résultat doit rester accordé à la table utilisée.

La fonction logarithme décimal explique la fonction dont les valeurs remplissent une table en base 10.

La règle à calcul montre comment la même propriété transforme mécaniquement une multiplication en addition de longueurs.