fonction logarithme

On cherche combien de fois il faut doubler 1 pour obtenir 32. La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32 compte cinq doublements. Le logarithme de 32 en base 2 vaut donc 5.

Un logarithme répond ainsi à une question d'exposant : à quelle puissance faut-il élever la base pour atteindre un nombre positif donné ? Il transforme aussi une multiplication en addition, car réunir deux suites de multiplications revient à additionner leurs nombres d'étapes.

Soit un nombre réel a, appelé base, strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme de base a, notée log_a, associe à chaque réel positif x l'exposant y tel que a^y = x. Autrement dit : ${\log }_a(x)=y⟺a^y=x\backslash log\_a(x)=y\; \backslash Longleftrightarrow\; a^y=x$. Son domaine est ℝ₊^*.

Pour préciser la caractérisation. La fonction logarithme de base a (a > 0, a ≠ 1), notée log_a, est définie sur ℝ₊* comme l'unique fonction continue qui vérifie l'équation fonctionnelle : log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) pour tous x, y > 0, avec log_a(a) = 1.

Pour des nombres positifs x et y, la multiplication devient une addition : ${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)\backslash log\_a(xy)=\backslash log\_a(x)+\backslash log\_a(y)$. On obtient aussi ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y)\backslash log\_a\backslash left(\backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right)=\backslash log\_a(x)-\backslash log\_a(y)$ et, pour un exposant réel n, ${\log }_a(x^n)=n{\log }_a(x)\backslash log\_a(x^n)=n\backslash log\_a(x)$. En particulier, log_a(1) = 0 et log_a(a) = 1.

Le logarithme népérien, noté ln, a pour base le nombre e ; il est aussi la primitive de la fonction x ↦ 1/x qui s'annule en 1. Le logarithme décimal, noté log ou log₁₀, a pour base 10 ; il satisfait log(10ⁿ) = n, propriété qui facilitait la construction et l'utilisation des tables de calcul. Toute base admissible se ramène au logarithme népérien par ${\log }_a(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (a)}\backslash log\_a(x)=\backslash frac\{\backslash ln(x)\}\{\backslash ln(a)\}$.

Une fonction logarithme réunit quatre éléments. La base a fixe la multiplication répétée prise comme repère. L'entrée x est obligatoirement positive. La sortie log_a(x) est l'exposant recherché. Enfin, la relation a^y = x relie exactement l'entrée x à la sortie y.

La base détermine donc les valeurs de la fonction : avec la base 2, les entrées 1, 2, 4, 8, 16 et 32 donnent les sorties 0, 1, 2, 3, 4 et 5. En revanche, la couleur, l'échelle ou l'épaisseur d'un tracé ne définissent pas le logarithme.

La courbe de log₂ rend visibles ces couples : chaque doublement de l'entrée ajoute exactement 1 à la sortie. Ces données suffisent à placer des points de référence et à contrôler le calcul log₂(32) = 5.

On veut calculer le logarithme de 32 en base 2. Les données sont la base a = 2 et l'entrée x = 32 ; l'inconnue est l'exposant y.

1. Traduire le logarithme en puissance : log₂(32) = y signifie 2^y = 32.

2. Décomposer 32 en puissances successives de 2 : 2, 4, 8, 16, 32. Il faut cinq facteurs égaux à 2, donc 32 = 2⁵.

3. L'exposant recherché vaut 5, d'où ${\log }_2(32)=5\backslash log\_2(32)=5$. Le résultat n'a pas d'unité. Le contrôle consiste à revenir à la puissance : 2⁵ = 32, ce qui redonne exactement l'entrée.

La propriété du produit fournit un second contrôle : 32 = 4 × 8, donc log₂(32) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Pour retrouver un exposant inconnu dans une égalité telle que 2^y = 32, on emploie le logarithme de même base : y = log₂(32). Une lecture directe des puissances suffit lorsque le nombre est une puissance immédiatement reconnaissable.

Pour transformer un produit ou un quotient de nombres positifs en somme ou en différence, on applique les propriétés du logarithme. Le calcul direct reste préférable si le produit est déjà simple ; les tables de logarithmes ont historiquement rendu ce changement d'opération utile aux calculs astronomiques et financiers.

Pour changer de base, on calcule ln(x)/ln(a). Par exemple, log₂(32) = ln(32)/ln(2) = 5 ; le retour à la puissance 2⁵ = 32 contrôle le résultat. Le logarithme décimal convient aux puissances de 10, tandis que le logarithme népérien s'impose lorsqu'on travaille avec la primitive de 1/x.

Logarithme et exponentielle. Ce sont deux opérations réciproques. Avec la base 2, l'exponentielle prend 5 comme exposant et produit 32 ; le logarithme prend 32 comme entrée et retrouve 5.

Logarithme népérien et logarithme décimal. Le premier a pour base e et se note ln ; le second a pour base 10 et se note souvent log. Le test est la valeur de référence : ln(e) = 1, tandis que log₁₀(10) = 1.

Fonction et table de logarithmes. La fonction est la règle qui associe un exposant à chaque entrée positive. Une table n'est qu'un support donnant à l'avance certaines valeurs de cette fonction pour faciliter les calculs.

Entrée nulle ou négative. Dans les nombres réels, log_a(x) exige x > 0. Si l'entrée vaut 0 ou −1, aucun logarithme réel n'est défini ; il faut changer de cadre mathématique plutôt que prolonger la formule.

Base interdite. La base doit vérifier a > 0 et a ≠ 1. À la valeur charnière a = 1, toutes les puissances valent 1 : elles ne peuvent donc pas atteindre 32 ni définir un logarithme sur tous les réels positifs.

Somme prise pour un produit. La règle log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) ne donne aucune règle analogue pour x + y. Par exemple, log₂(4 + 4) = 3, alors que log₂(4) + log₂(4) = 4. Il faut d'abord identifier l'opération présente.

Base entre 0 et 1. Elle est autorisée, mais la fonction décroît : augmenter l'entrée fait diminuer le logarithme. Si un résultat semble avoir le signe opposé à celui attendu, il faut vérifier la base avant de conclure à une erreur de calcul.

Un repère historique. Historiquement, le terme « logarithme » (du grec logos : rapport, et arithmos : nombre) fut introduit par Napier en 1614 pour désigner des tables de correspondance facilitant les calculs astronomiques et financiers. L'idée de fonction logarithme, liée à la primitive de x ↦ 1/x, apparaît chez Grégoire de Saint-Vincent en 1647, avant que Leibniz ne lui donne pleinement le statut de fonction.

nombre e — Éclaire la base particulière du logarithme népérien et son rôle dans la relation avec ln.

Un logarithme sous l'hyperbole — Approfondit le lien entre ln, la fonction 1/x et l'interprétation géométrique par une aire.

Les bâtons de Napier — Replace l'invention des logarithmes parmi les procédés de calcul associés à Napier.