AnalyseNotion · Glossaire
intégrale de Bertrand
Les intégrales de Bertrand sont des intégrales impropres de la forme ∫ dx / (xᵅ (ln x)ᵝ), dont la convergence dépend des valeurs des paramètres réels α et β. Les résultats de convergence sont les suivants :
- Sur [e, +∞[ : l'intégrale impropre de dx / (xᵅ (ln x)ᵝ) converge si et seulement si (α > 1) ou (α = 1 et β > 1).
- Sur ]0, 1/e] : l'intégrale impropre de dx / (xᵅ |ln x|ᵝ) converge si et seulement si (α < 1) ou (α = 1 et β > 1).
Ces intégrales généralisent les intégrales de Riemann classiques de la forme ∫ dx / xᵅ en introduisant un facteur logarithmique supplémentaire au dénominateur. Elles apparaissent naturellement en analyse lors de l'étude des séries ou intégrales au comportement frontière, c'est-à-dire dans les cas où le critère habituel basé sur la seule valeur de α est insuffisant pour conclure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Décider la convergence à l’infini en comparant α puis β au seuil 1.
- Décider la convergence près de 0 et interpréter correctement le logarithme négatif.
- Refaire le calcul complet du cas α = 1 et β = 2.
En clair
Imaginez que l’on additionne l’aire sous une courbe de x = e jusqu’à des valeurs de x toujours plus grandes. Deux freins peuvent empêcher cette aire de croître sans limite : une puissance positive de x et, lorsque β > 0, une puissance de son logarithme.
La puissance de x décide presque toujours. Mais lorsqu’elle vaut exactement 1, elle atteint un seuil : le facteur logarithmique départage alors convergence et divergence. Dans l’exemple α = 1 et β = 2, l’aire totale vaut 1 ; avec β = 1, elle devient infinie.
Définition
Une intégrale de Bertrand est une intégrale impropre dont l’intégrande combine une puissance de la variable et une puissance de son logarithme. Le paramètre réel α est l’exposant de x ; le paramètre réel β est l’exposant de ln x. Sur l’intervalle allant de e à l’infini, elle s’écrit .
À l’infini, cette intégrale converge si α > 1, quelle que soit la valeur de β. Elle diverge si α < 1. Dans le cas frontière α = 1, elle converge exactement lorsque β > 1. Le logarithme ne change donc le verdict donné par la puissance de x qu’au seuil α = 1.
Près de 0, sur l’intervalle allant de 0 à 1/e, le sens du critère en α s’inverse : il y a convergence si α < 1, divergence si α > 1, et convergence pour α = 1 exactement lorsque β > 1. Comme ln x est négatif sur cet intervalle, la forme réelle valable pour tout β réel emploie usuellement au dénominateur.
Un exemple, pas à pas
On veut décider si une aire reste finie et, si oui, la calculer.
Données. L’intervalle commence en x = e et se prolonge vers l’infini.
L’exposant de x est α = 1.
L’exposant du logarithme est β = 2.
Données. L’intervalle commence en x = e et se prolonge vers l’infini.
L’exposant de x est α = 1.
L’exposant du logarithme est β = 2.
1. Avec ces valeurs, l’intégrale à étudier est . Le paramètre α est au seuil ; β doit donc décider.
2. On pose u = ln x. Alors du = dx/x : le facteur x disparaît exactement du calcul.
3. Quand x = e, u = 1 ; quand x tend vers l’infini, u tend aussi vers l’infini. Le changement de variable transforme donc le problème en . La figure rend visible cette aire finie.
4. Une primitive de 1/u2 est −1/u. En faisant tendre la borne supérieure vers l’infini, on obtient .
5. L’intégrale converge et vaut 1, sans unité. Pour contrôler le calcul, on dérive −1/u : sa dérivée est bien 1/u2, puis on vérifie que −1/u tend vers 0 lorsque u tend vers l’infini.
En pratique
Pour étudier une intégrale à l’infini, on isole d’abord les exposants de x et de ln x. Si α est différent de 1, le critère des puissances de x suffit ; si α = 1, on examine β.
Près de 0, on remplace le logarithme négatif par sa valeur absolue et l’on vérifie le sens du seuil en α. Ici, α < 1 favorise la convergence, contrairement au comportement à l’infini.
Lorsqu’une fonction positive est comparable à une forme de Bertrand près de la borne problématique, on compare leur quotient. Si ce quotient tend vers une constante strictement positive et finie, elles ont le même verdict. Sinon, ce critère d’équivalence ne s’applique pas sous cette forme, mais une comparaison par majoration ou minoration, ou un autre critère, peut encore permettre de conclure.
À ne pas confondre
Avec une simple intégrale de puissance. L’intégrale de 1/xα ne comporte pas de facteur logarithmique. À l’infini, le cas α = 1 diverge ; dans une intégrale de Bertrand, β = 2 suffit au contraire à faire converger ce cas frontière.
Avec une série de Bertrand. Une série additionne des termes indexés par des entiers, tandis qu’une intégrale additionne continûment des valeurs sur un intervalle. La présence d’une somme ou d’un signe intégral tranche immédiatement, même si les critères de convergence se ressemblent.
Avec la catégorie des intégrales impropres. Les intégrales de Bertrand impropres étudiées ici le sont à cause d’une borne infinie ou d’une singularité, mais toute intégrale impropre n’a pas la forme puissance-logarithme. Sur un intervalle compact qui évite les singularités, une intégrale de même forme peut être propre. Il faut identifier simultanément les facteurs xα et (ln x)β.
Limites et pièges
Le double seuil α = 1 et β = 1. C’est le cas le plus trompeur : le facteur 1/ln x accélère la décroissance par rapport à 1/x, sans toutefois rendre l’aire finie. Il faut exiger strictement β > 1, aux deux bornes étudiées.
Le logarithme ne répare pas une puissance hors seuil. À l’infini, α < 1 entraîne la divergence, même avec un grand β ; près de 0, c’est α > 1 qui l’entraîne. Il faut d’abord comparer α à 1.
Le signe du logarithme près de 0. Sur l’intervalle ]0, 1/e], ln x est négatif. Pour un β réel quelconque, (ln x)β peut ne pas être réel ; on écrit |ln x|β avant d’appliquer le critère.
Le passage par x = 1. Le logarithme s’y annule, ce qui peut créer une singularité supplémentaire. Lorsque l’intégrande y est singulière ou non définie, l’intégrale doit être scindée en ce point, puis chaque morceau doit être étudié séparément. Pour β = 0, le facteur logarithmique disparaît et x = 1 n’impose aucune scission.
Pour aller plus loin
Impropre (intégrale) — Pour replacer les bornes infinies et les singularités dans le cadre général des intégrales impropres.
série de Bertrand — Pour retrouver le même phénomène de seuil dans une somme discrète plutôt que dans une aire.
fonction logarithme népérien — Pour revoir la fonction qui fournit le facteur décisif lorsque l’exposant de x atteint 1.
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