Bertrand Joseph

En 1845, Joseph Bertrand formule une conjecture sur les nombres premiers : dès qu’un entier vaut au moins 2, un nombre premier se trouve toujours entre cet entier et son double. Cette idée résume l’un des visages d’un savant français qui travaille aussi sur l’analyse, les probabilités et la mécanique rationnelle.

Son nom reste également attaché à une famille de séries, à des intégrales impropres et à un paradoxe. Ce dernier révèle qu’un tirage « au hasard » doit être défini avec précision avant d’en calculer la probabilité.

Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) est un mathématicien, physicien et économiste français. Après avoir abandonné une carrière d’ingénieur des Mines, il se consacre à la recherche et à l’enseignement des mathématiques. Ses travaux portent notamment sur l’analyse, la théorie des nombres, les probabilités et la mécanique rationnelle. Il entre à l’Académie des Sciences en 1856, puis à l’Académie française en 1884.

Son postulat de 1845 affirme que, pour tout entier n au moins égal à 2, il existe un nombre premier p strictement supérieur à n et inférieur ou égal à son double : . Tchebychev démontre cette conjecture en 1854 ; le résultat est aussi appelé théorème de Tchebychev.

Pour la série de Bertrand, avec α et β réels, l’exposant α porte sur l’entier n et l’exposant β sur son logarithme naturel. La série est ${\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}\backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 2\}\; \backslash frac\{1\}\{n^\{\backslash alpha\}(\backslash ln\; n)^\{\backslash beta\}\}$. Elle converge exactement si α est supérieur à 1, ou si α vaut 1 et β est supérieur à 1. Pour une borne A supérieure à 1, l’intégrale impropre à l’infini ${\int }_A^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }}\backslash int\_A^\{+\backslash infty\}\; \backslash frac\{dx\}\{x^\{\backslash alpha\}(\backslash ln\; x)^\{\backslash beta\}\}$ suit ce même critère. En revanche, pour une borne B supérieure à 1, l’intégrale au voisinage de 1 ${\int }_1^B\frac{dx}{x^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }}\backslash int\_1^B\; \backslash frac\{dx\}\{x^\{\backslash alpha\}(\backslash ln\; x)^\{\backslash beta\}\}$ converge exactement si β est inférieur à 1. Son paradoxe de géométrie probabiliste montre enfin que la probabilité associée à une corde « au hasard » dans un cercle dépend de la définition du tirage. Bertrand contribue aussi à diffuser en France les travaux de Gauss en probabilités et en géométrie différentielle.

Prenons l’entier n = 10. Les données sont donc n = 10, la borne inférieure stricte n et la borne supérieure incluse 2n. Il faut vérifier qu’au moins un nombre premier appartient à cet intervalle.

1. Le double de 10 vaut 20. L’intervalle à examiner est donc défini par .

2. Les entiers premiers de cet intervalle sont 11, 13, 17 et 19. Un seul suffirait à satisfaire l’énoncé ; ici, quatre conviennent.

3. Le contrôle est direct : 11 est premier, 10 < 11 et 11 ≤ 20. Le cas n = 10 vérifie donc le postulat. Une droite graduée permet aussi de contrôler les deux bornes et de repérer les quatre nombres premiers sans modifier le raisonnement.

En théorie des nombres, le postulat garantit l’existence d’un nombre premier entre un entier n ≥ 2 et son double. Si l’on cherche la valeur exacte du premier nombre premier suivant n, cette garantie ne suffit pas : il faut tester les candidats.

En analyse, le critère de la série de Bertrand tranche une convergence en lisant d’abord α, puis β lorsque α = 1. Pour une intégrale impropre de Bertrand, on emploie le critère analogue adapté à l’intégrale plutôt que de conclure à partir du seul nom.

En probabilités géométriques, le paradoxe impose de décrire le procédé qui produit la corde. Tant que « au hasard » ne désigne pas un tirage précis, une probabilité unique n’est pas déterminée.

Postulat de Bertrand et théorème de Tchebychev. Ils désignent ici le même énoncé, mais pas la même étape historique. « Postulat de Bertrand » renvoie à la conjecture formulée en 1845 ; « théorème de Tchebychev » souligne sa démonstration en 1854. Pour l’intervalle n < p ≤ 2n, le contenu mathématique ne change pas.

Série et intégrale de Bertrand. La première additionne des termes indexés par des entiers ; la seconde est une intégrale impropre portant sur une variable continue. Leurs critères sont analogues, mais l’objet à étudier se reconnaît au symbole de somme ou d’intégrale.

Seuil du postulat. L’hypothèse n ≥ 2 est indispensable à l’énoncé donné. Il faut aussi conserver une borne gauche stricte et une borne droite incluse : le nombre premier recherché vérifie n < p ≤ 2n.

Frontière de la série. Dire seulement que α doit être au moins égal à 1 est faux. Si α = 1, la convergence exige encore β > 1 ; si α n’est pas supérieur à 1 et ne vaut pas 1 avec β > 1, la série diverge.

Hasard non spécifié. Dans le paradoxe de Bertrand, plusieurs définitions d’une corde tirée uniformément peuvent conduire à des probabilités différentes. Le symptôme est une réponse numérique annoncée sans protocole de tirage ; il faut d’abord préciser ce protocole.

L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge le postulat de Bertrand en replaçant la présence des nombres premiers dans leur distribution globale.

Gauss Carl permet d’identifier le savant dont Bertrand a contribué à diffuser en France les travaux en probabilités et en géométrie différentielle.