Tchebychev Pafnouti

De 1821 à 1894, Pafnouti Tchebychev participe à l'essor des mathématiques russes. Professeur à Saint-Pétersbourg, il voyage aussi en Europe pour échanger avec les mathématiciens de son temps.

Deux idées donnent la mesure de son travail. En probabilités, il encadre le risque qu'une valeur s'éloigne beaucoup de sa moyenne. En arithmétique, il prouve qu'après tout entier supérieur à 1, on rencontre toujours un nombre premier avant d'atteindre son double.

Pafnouti Livovic Tchebyshev (1821–1894) est un mathématicien russe majeur et professeur à Saint-Pétersbourg. Il appartient à l'école mathématique russe fondée sous Catherine la Grande par Daniel Bernoulli et Euler. Ses voyages européens lui permettent d'échanger avec les grands mathématiciens de son époque.

En probabilités, son nom est attaché à une inégalité qui borne les grands écarts sans exiger la loi complète du hasard étudié. Soit une variable aléatoire X de moyenne μ et de variance finie σ². Pour tout seuil positif a, l'inégalité s'écrit $\mathbb{P}(\mathrm{\mid }X-\mu \mathrm{\mid }\ge a)\le \frac{{\sigma }^2}{a^2}\backslash mathbb\{P\}(|X-\backslash mu|\backslash ge\; a)\backslash le\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{a^2\}$. Elle fournit notamment un outil pour démontrer la loi faible des grands nombres. Tchebychev a aussi établi des théorèmes limites sur les tendances asymptotiques de phénomènes naturels.

En théorie des nombres, il précise une conjecture de Gauss sur la distribution des nombres premiers. Il démontre également la conjecture de Bertrand : pour chaque entier n strictement supérieur à 1, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n.

Une variable aléatoire X modélise une mesure. Les données disponibles sont sa moyenne μ = 100, sa variance σ² = 25 et le seuil d'écart a = 10. On ne connaît pas sa loi de probabilité.

1. L'événement à borner est un écart d'au moins 10 à la moyenne : X ≤ 90 ou X ≥ 110.

2. L'inégalité de Tchebychev donne $\mathbb{P}(\mathrm{\mid }X-100\mathrm{\mid }\ge 10)\le \frac{25}{{10}^2}\backslash mathbb\{P\}(|X-100|\backslash ge\; 10)\backslash le\; \backslash frac\{25\}\{10^2\}$.

3. Le quotient vaut exactement 25/100 = 1/4. La probabilité d'un tel écart est donc au plus 25 %.

4. Par complément, la probabilité que X reste strictement entre 90 et 110 est au moins 75 %.

Le contrôle se refait en observant que le seuil 10 vaut deux écarts-types, puisque l'écart-type est σ = 5. La borne extérieure est alors 1/2² = 1/4.

Quand seules la moyenne et la variance d'une variable aléatoire sont connues, l'inégalité de Tchebychev donne une garantie sur les grands écarts. Si la loi complète est connue, un calcul direct fournit généralement une probabilité plus précise.

Pour une suite de moyennes, cette borne aide à montrer que les écarts deviennent peu probables lorsque le nombre d'observations augmente. C'est l'un des chemins vers la loi faible des grands nombres mentionnée dans les travaux de Tchebychev.

En arithmétique, le résultat de Bertrand garantit l'existence d'un nombre premier entre n et 2n pour tout entier n > 1. Il donne une certitude d'existence ; une recherche effective reste nécessaire pour identifier ce nombre premier.

Inégalité de Tchebychev et loi faible des grands nombres. La première borne la probabilité d'un écart pour une variable de variance finie. La seconde décrit la convergence de moyennes quand le nombre d'observations augmente. Dans l'exemple avec une seule variable X, on applique l'inégalité, pas une loi des grands nombres.

Borne et probabilité exacte. Dire que le risque d'un écart est au plus 25 % ne signifie pas qu'il vaut 25 %. Une loi de probabilité connue peut donner une valeur inférieure ; avec seulement la moyenne et la variance, l'inégalité ne fournit qu'un plafond.

Variance indispensable. La forme usuelle de l'inégalité exige une variance finie. Si cette donnée n'existe pas ou n'est pas connue, le quotient σ²/a² ne peut pas fournir la borne annoncée.

Seuil trop petit. Si le seuil a est inférieur ou égal à l'écart-type σ, alors σ²/a² est supérieur ou égal à 1. La borne reste formellement vraie, mais n'apporte rien de mieux que la certitude qu'une probabilité ne dépasse pas 1. Il faut augmenter le seuil ou utiliser davantage d'information sur la loi.

Intervalle central et frontières. L'événement borné dans l'exemple inclut les valeurs 90 et 110, car l'écart est au moins 10. Son complément est donc l'intervalle strict 90 < X < 110. Changer « au moins » en « plus de » modifierait les frontières.

Bertrand commence après 1. La condition n > 1 est obligatoire. Pour n = 1, l'intervalle strict entre 1 et 2 ne contient aucun entier premier ; il ne faut donc pas supprimer ce seuil.

La première loi des grands nombres prolonge le versant probabiliste en montrant le comportement des moyennes lorsque les observations se multiplient.

Le glossaire nombre premier précise l'objet arithmétique dont la présence est garantie entre n et 2n.

L'inépuisable théorème des nombres premiers ouvre sur la question plus large de la distribution asymptotique des nombres premiers.