Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Bienaymé Irénée-Jules
Irénée Jules Bienaymé (1796-1878), mathématicien français. Il applique la théorie des probabilités aux calculs financiers et rédige des mémoires sur la méthode des moindres carrés, sur les lois de Laplace et de Poisson, ainsi que sur la loi des grands nombres (1869). On lui doit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, résultat central en théorie des probabilités qui généralise le théorème de Jacques Bernoulli et permet notamment de démontrer la loi faible des grands nombres pour des variables aléatoires indépendantes, de même loi et de variance finie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Bienaymé et les domaines de travaux mentionnés dans la source.
- Lire l'inégalité avec ses hypothèses et la signification de chaque symbole.
- Refaire un exemple où la borne de 25 % est atteinte exactement.
- Distinguer cette borne d'une loi de probabilité et de la loi des grands nombres.
En clair
En 1869, le mathématicien français Irénée Jules Bienaymé travaille sur la loi des grands nombres. Son idée la plus célèbre répond à une question concrète : sans connaître toute la répartition d'une quantité aléatoire, peut-on limiter le risque qu'elle s'éloigne beaucoup de sa moyenne ?
Oui, si sa variance est finie, pour tout seuil d'écart strictement positif. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev transforme cette mesure de dispersion en une borne : plus l'écart toléré est grand devant l'écart type, plus la probabilité d'un dépassement est faible.
Définition
Irénée Jules Bienaymé (1796-1878) est un mathématicien français dont les travaux relient théorie des probabilités, calculs financiers et méthode des moindres carrés. Il rédige aussi des mémoires sur les lois de Laplace et de Poisson, puis sur la loi des grands nombres en 1869. Son nom reste attaché à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Soit une variable aléatoire X de moyenne finie μ et de variance finie σ2. Pour tout nombre réel strictement positif a, l'inégalité affirme : . Elle ne donne pas la probabilité exacte. Elle garantit seulement que la probabilité d'un écart d'au moins a ne dépasse pas le rapport entre la variance et le carré de cet écart.
Si σ est strictement positif, en choisissant a égal à k fois l'écart type σ, avec k strictement positif, on obtient . La force du résultat tient à l'absence d'hypothèse sur la forme de la loi. Cette borne généralise le théorème de Jacques Bernoulli et intervient dans des démonstrations de la loi des grands nombres, dès que la variance de la moyenne étudiée tend vers zéro.
Un exemple, pas à pas
Considérons une variable aléatoire X qui prend la valeur 42 avec la probabilité 1/8, la valeur 50 avec la probabilité 3/4 et la valeur 58 avec la probabilité 1/8. Nous cherchons à borner la probabilité que X s'écarte d'au moins 8 de sa moyenne.
1. Calculons la moyenne : .
2. Calculons la variance autour de 50 : .
3. Pour un écart a égal à 8, la borne vaut . L'inégalité garantit donc que la probabilité d'un écart au moins égal à 8 est au plus 1/4, soit 25 %.
4. Vérifions directement : seuls 42 et 58 sont à distance 8 de la moyenne. Leur probabilité totale est 1/8 + 1/8 = 1/4. La borne est donc atteinte exactement dans cet exemple.
Une représentation en trois barres permet de contrôler simultanément les valeurs possibles, leurs probabilités et les deux écarts extrêmes de 8 autour de la moyenne 50.
En pratique
Pour encadrer un risque avec peu d'informations, on calcule la moyenne et la variance, puis on choisit l'écart jugé préoccupant. Si la loi exacte est connue, son calcul direct est préférable ; sinon, l'inégalité fournit une garantie valable quelle que soit sa forme.
Dans un calcul financier, domaine auquel Bienaymé a appliqué les probabilités, la borne sert à contrôler un dépassement à partir de la dispersion. Une modélisation propre à la loi observée reste préférable lorsqu'elle est justifiée par davantage de données.
Pour étudier une moyenne d'observations, on applique l'inégalité à cette moyenne elle-même. Si sa variance tend vers zéro quand le nombre d'observations augmente, la probabilité d'un écart fixé tend aussi vers zéro : c'est le mécanisme probabiliste utilisé pour établir une loi faible des grands nombres.
À ne pas confondre
Inégalité de Markov. Elle borne la probabilité qu'une variable aléatoire positive dépasse un seuil à partir de son espérance. Bienaymé-Tchebychev s'applique à l'écart centré |X − μ| et utilise la variance ; une variable pouvant être négative distingue immédiatement les deux cadres.
Loi des grands nombres. Elle décrit la convergence d'une moyenne lorsque le nombre d'observations augmente. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un outil de preuve : pour une taille fixée, elle fournit une borne, mais n'affirme pas à elle seule que cette borne tend vers zéro.
Loi de Laplace-Gauss. Cette loi impose une forme précise de distribution. L'inégalité ne suppose aucune forme particulière : deux variables de même moyenne et de même variance reçoivent la même borne, même si leurs distributions diffèrent.
Limites et pièges
Variance absente ou infinie. Le quotient σ2/a2 n'est alors pas une borne finie exploitable. Il faut employer un résultat adapté aux moments réellement disponibles ou étudier directement la loi.
Seuil nul. La condition a > 0 est indispensable, car la formule divise par a2. Pour a = 0, il faut revenir à l'événement considéré au lieu d'appliquer l'inégalité.
Borne parfois peu informative. Si a est inférieur à l'écart type σ, le rapport σ2/a2 dépasse 1, alors qu'une probabilité ne dépasse jamais 1. La borne utile devient alors simplement 1, ou un calcul fondé sur la loi exacte.
Passage trop rapide à la loi des grands nombres. Des variables dites « quelconques » ne dispensent pas de contrôler la variance de leur moyenne. Si cette variance ne tend pas vers zéro, la borne ne prouve aucune convergence en probabilité.
Pour aller plus loin
La première loi des grands nombres montre le résultat de convergence auquel la borne de Bienaymé-Tchebychev peut contribuer.
La loi de Poisson éclaire l'une des lois sur lesquelles Bienaymé a rédigé des mémoires.
La méthode des moindres carrés prolonge l'autre grand versant de ses travaux mentionné dans la définition historique.
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