Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Poisson
La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète introduite par Siméon Denis Poisson en 1837. Elle est définie par un paramètre λ > 0 et assigne à tout entier naturel k la probabilité P(X = k) = e⁻λ · λᵏ / k!, où e est la base du logarithme naturel et k! la factorielle de k. L'espérance et la variance d'une variable de Poisson sont toutes deux égales à λ. La loi de Poisson apparaît naturellement pour modéliser le nombre d'occurrences d'un événement rare lors d'un grand nombre d'expériences indépendantes : c'est le résultat du théorème de Poisson, qui établit que, si n → ∞, p → 0 et np → λ, la loi binomiale B(n, p) converge vers la loi de Poisson de paramètre λ. Elle sert ainsi à décrire des phénomènes tels que le nombre d'appels téléphoniques reçus en un laps de temps, le nombre de particules radioactives émises par unité de temps, ou le nombre de défauts dans un matériau.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le paramètre λ comme un nombre moyen d’occurrences.
- Calculer P(X = k) avec la formule de Poisson.
- Relier la loi de Poisson à l’approximation d’une loi binomiale.
- Reconnaître les hypothèses et les pièges qui rendent le modèle inadapté.
En clair
Pendant une minute, un standard téléphonique peut recevoir zéro appel, un appel, deux appels ou davantage. Si le rythme moyen est de trois appels par minute, le nombre réellement reçu varie d’une minute à l’autre.
La loi de Poisson associe une probabilité à chacun de ces comptes. Son unique paramètre, noté λ, représente ici le nombre moyen d’appels attendus pendant une minute. La loi décrit donc un nombre entier d’occurrences dans un intervalle fixé, et non l’heure précise de chaque appel.
Définition
La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète pour une variable aléatoire qui compte des occurrences. Son paramètre λ est un nombre réel strictement positif. Pour tout entier naturel k, la variable X prend la valeur k avec une probabilité déterminée par λ.
Le paramètre λ représente le nombre moyen d’occurrences sur le domaine observé, par exemple une minute ou une unité de matériau. L’espérance de X vaut λ et sa variance vaut également λ. Cette égalité est une propriété caractéristique du modèle : si λ = 3 appels par minute, le nombre moyen est 3 et la variance est 3.
La loi apparaît aussi comme approximation d’une loi binomiale. Lorsque le nombre n d’expériences indépendantes devient grand, que leur probabilité commune p devient petite et que le produit np tend vers une valeur λ, la loi binomiale B(n, p) converge vers la loi de Poisson de paramètre λ. Ce passage à la limite, appelé théorème de Poisson, explique son emploi pour des événements rares répétés un grand nombre de fois.
Le principe
Soit λ un nombre réel strictement positif. Si la variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ, alors, pour tout entier naturel k :
Dans cette formule, e est la base du logarithme naturel et k! est la factorielle de k, avec 0! = 1. Le même paramètre donne les deux caractéristiques principales : E(X) = λ et Var(X) = λ.
Quand l'utiliser
Le modèle s’applique à un nombre d’occurrences observé sur un domaine fixé, tel qu’une minute ou une portion de matériau. Il faut connaître le nombre moyen λ correspondant exactement à ce domaine. Le résultat obtenu est la probabilité d’en compter k, où k est un entier naturel.
Les occurrences doivent pouvoir être traitées comme indépendantes, et le rythme moyen doit rester pertinent pendant l’observation. Pour employer l’approximation de Poisson à partir d’une loi binomiale, le nombre d’expériences doit être grand, leur probabilité commune petite et le produit np voisin de λ.
Si les appels arrivent par groupes à la suite d’un même incident, l’indépendance devient douteuse : une loi de Poisson unique peut alors sous-estimer la variabilité. Si l’on fixe plutôt un nombre n d’essais et que chaque essai réussit avec probabilité p, la loi binomiale est le modèle direct.
Un exemple, pas à pas
Un standard reçoit en moyenne trois appels par minute. On modélise le nombre X d’appels reçus pendant une minute par une loi de Poisson et l’on cherche la probabilité d’en recevoir exactement cinq.
Données : λ = 3 appels par minute ; durée = 1 minute ; k = 5 appels.
Données : λ = 3 appels par minute ; durée = 1 minute ; k = 5 appels.
1. La durée observée est celle à laquelle se rapporte la moyenne, donc le paramètre reste λ = 3.
2. La factorielle de 5 vaut 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
3. On remplace λ et k dans la formule : .
4. Comme 35 = 243, le calcul donne e−3 × 243 / 120 ≈ 0,100819.
2. La factorielle de 5 vaut 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
3. On remplace λ et k dans la formule : .
4. Comme 35 = 243, le calcul donne e−3 × 243 / 120 ≈ 0,100819.
La probabilité de recevoir exactement cinq appels en une minute est donc d’environ 10,08 %. Un contrôle refaisable consiste à partir de P(X = 0) = e−3, puis à multiplier successivement par 3/k : on obtient P(X = 5) ≈ 0,100819. La distribution représentée montre aussi que cinq appels restent possibles, mais sont moins probables que deux ou trois.
En pratique
Pour dimensionner un standard, on choisit une durée, on estime le nombre moyen d’appels λ sur cette durée, puis on calcule la probabilité d’un nombre d’appels donné. Si le rythme change nettement selon l’heure, on traite séparément les plages concernées.
Pour compter des émissions radioactives par unité de temps, on associe λ au nombre moyen d’émissions pendant l’intervalle retenu. Si le rythme est constant, un changement d’intervalle impose de modifier λ dans la même proportion avant tout calcul ; sinon, on recalcule le nombre moyen propre au nouvel intervalle.
Pour étudier les défauts d’un matériau, on fixe d’abord une même quantité de matériau et l’on compare les comptes sur cette base. Lorsque le problème décrit plutôt n essais indépendants ayant chacun une probabilité p de défaut, la loi binomiale est le modèle direct ; la loi de Poisson peut l’approximer si n est grand et p petit.
À ne pas confondre
Loi binomiale. Elle compte les succès parmi un nombre n d’expériences fixé, avec une probabilité p par expérience. Si 1 000 composants sont testés séparément, le nombre de défauts suit directement un modèle binomial ; la loi de Poisson n’en est qu’une approximation lorsque n est grand, p petit et np voisin de λ.
Processus de Poisson. La loi de Poisson décrit le nombre d’occurrences dans un domaine fixé. Un processus de Poisson décrit leur évolution au fil du temps ou de l’espace. Si la question porte seulement sur le total d’appels pendant une minute, une variable de loi de Poisson suffit.
Limites et pièges
Paramètre nul. La définition donnée exige λ > 0. Le cas charnière λ = 0 correspond à une variable toujours nulle et se traite comme une limite dégénérée, pas comme un paramètre strictement positif.
Moyenne changeante. Employer un seul λ pour une journée entière peut masquer des rythmes très différents. Si le nombre moyen d’appels varie selon l’heure, il faut découper la journée en intervalles homogènes et attribuer un paramètre à chacun.
Occurrences dépendantes. Des événements qui arrivent en grappes ne satisfont pas l’idée d’occurrences indépendantes. Un symptôme est une variance observée nettement supérieure à la moyenne, alors que le modèle de Poisson impose Var(X) = E(X) = λ ; il faut alors réexaminer le modèle.
Approximation trop rapide. Le seul produit np ne suffit pas : le théorème de Poisson exige simultanément n → ∞, p → 0 et np → λ. Si p n’est pas petit, il faut conserver la loi binomiale plutôt que remplacer automatiquement B(n, p) par une loi de Poisson.
Pour aller plus loin
loi binomiale — Pour approfondir le modèle à nombre d’essais fixé dont la loi de Poisson fournit une approximation.
convergence en loi — Pour préciser le sens mathématique du passage de la loi binomiale à la loi de Poisson.
espérance mathématique — Pour interpréter rigoureusement le nombre moyen d’occurrences représenté par λ.
variance d'une variable aléatoire — Pour comprendre la mesure de dispersion qui vaut aussi λ dans le modèle de Poisson.
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