espérance mathématique

Un jeu donne 0 €, 4 € ou 8 €, mais ces trois gains ne sont pas également probables. Pour résumer ce que rapporteraient beaucoup de parties, on multiplie chaque gain par sa probabilité, puis on additionne les résultats.

Cette moyenne pondérée est l'espérance mathématique. Elle ne prédit pas le gain de la prochaine partie : ici, l'espérance vaut 3 €, alors qu'aucune partie ne rapporte exactement 3 €. Elle indique plutôt le gain moyen vers lequel se dirige la moyenne observée quand le jeu est répété un grand nombre de fois.

L'espérance mathématique est le premier moment d'une variable aléatoire réelle. Elle associe à cette variable une valeur moyenne théorique, notée E(X), qui pondère chaque résultat possible par sa probabilité. Pour une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x₁, x₂, …, x_n avec les probabilités p₁, p₂, …, p_n, la somme des probabilités vaut 1 et l'espérance est :

Pour une variable aléatoire continue X de densité f, l'espérance est l'intégrale de x multiplié par f(x) sur les valeurs possibles : $E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dxE(X)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}x\; f(x)\backslash ,dx$. Cette définition exige que l'intégrale converge absolument. L'espérance est linéaire : pour deux réels a et b et deux variables aléatoires X et Y dont les espérances existent, $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$. Cette propriété ne suppose pas que X et Y soient indépendantes. Dans la loi des grands nombres, la moyenne observée sur de nombreuses répétitions se rapproche de l'espérance sous les hypothèses du théorème. L'espérance intervient aussi dans le théorème central limite et, plus largement, en statistique mathématique.

Un jeu attribue un gain aléatoire X. Les données sont les suivantes : 0 € avec une probabilité de 1/2, 4 € avec une probabilité de 1/4 et 8 € avec une probabilité de 1/4. La somme des probabilités est bien 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1.

1. Multiplier chaque gain par sa probabilité : 0 × 1/2 = 0 €, 4 × 1/4 = 1 € et 8 × 1/4 = 2 €.

2. Additionner les trois contributions : $E(X)=0\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{4}+8\times \frac{1}{4}=3E(X)=0\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}+4\backslash times\backslash frac\{1\}\{4\}+8\backslash times\backslash frac\{1\}\{4\}=3$. L'espérance du gain est donc de 3 € par partie.

Le diagramme associé rend visible la contribution de chaque issue : une grande probabilité ne suffit pas si la valeur correspondante est nulle.

3. Contrôler le résultat sur quatre parties représentatives : deux gains de 0 €, un gain de 4 € et un gain de 8 € donnent 12 € au total, soit 12 ÷ 4 = 3 € par partie. Ce contrôle illustre la moyenne attendue ; il ne garantit pas cette répartition sur chaque série de quatre parties.

Pour comparer plusieurs jeux répétés, on calcule l'espérance du gain net de chacun dans la même unité. Si le risque ou la possibilité d'une forte perte compte aussi, l'espérance seule ne suffit pas : on examine également la dispersion des gains.

Dans une simulation, on répète l'expérience et on suit la moyenne des valeurs obtenues. Une moyenne qui se stabilise près de l'espérance fournit un contrôle empirique ; pour un calcul exact sur quelques issues connues, la somme pondérée reste préférable.

En statistique, l'espérance décrit la valeur moyenne du modèle probabiliste. La moyenne d'un échantillon, elle, se calcule avec les observations effectivement recueillies et sert à approcher cette valeur théorique lorsque le modèle et les hypothèses le permettent.

Espérance et moyenne arithmétique. L'espérance est calculée à partir d'une loi de probabilité ; la moyenne arithmétique utilise des observations réalisées. Pour les gains 0 €, 4 € et 8 € assortis de leurs probabilités, on calcule une espérance. Après vingt parties réellement jouées, on calcule une moyenne observée.

Espérance et probabilité. Une probabilité est comprise entre 0 et 1 et mesure la chance d'un événement. Une espérance a l'unité de la variable et peut sortir de la liste des valeurs possibles : le jeu a une espérance de 3 €, mais la probabilité de gagner exactement 3 € est nulle.

Espérance et variance. L'espérance situe le niveau moyen ; la variance mesure la dispersion autour de ce niveau. Deux jeux peuvent donc avoir la même espérance tout en présentant des gains très différemment dispersés.

Une valeur attendue n'est pas nécessairement une valeur possible. Dans le jeu étudié, E(X) = 3 €, alors que les seuls gains sont 0 €, 4 € et 8 €. Il faut interpréter 3 € comme une moyenne à long terme, pas comme une prédiction individuelle.

L'espérance peut ne pas exister. Pour une variable continue, l'intégrale de |x|f(x) doit être finie. Si elle diverge, additionner formellement des contributions positives et négatives peut produire une valeur trompeuse ; il faut alors conclure que l'espérance n'est pas définie au sens usuel.

La linéarité ne s'étend pas à toute transformation. L'identité E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) est valide lorsque les espérances concernées existent. En revanche, une fonction non linéaire g ne vérifie généralement pas E(g(X)) = g(E(X)) ; il faut calculer l'espérance à partir des valeurs de g(X).

Une espérance identique ne décrit pas un risque identique. Le niveau moyen ne dit pas à lui seul comment les valeurs se répartissent. Si les écarts possibles influencent la décision, il faut compléter l'espérance par une mesure de dispersion, telle que la variance.

variable aléatoire — Pour préciser comment des résultats numériques et leurs probabilités forment l'objet auquel on applique l'espérance.

variance d'une variable aléatoire — Pour compléter la valeur moyenne par une mesure des écarts autour de cette valeur.

La première loi des grands nombres — Pour approfondir le rapprochement entre moyenne observée et espérance lors de répétitions nombreuses.

Calcul des probabilités : — Pour replacer les pondérations utilisées dans le calcul de l'espérance dans le cadre général des probabilités.