Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
variable aléatoire
On lance deux pièces : aux issues pile-pile, pile-face, face-pile et face-face, on associe respectivement les valeurs 2, 1, 1 et 0, qui comptent le nombre de piles. Une variable aléatoire est cette règle qui associe une valeur à chaque issue. En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une application définie sur l'espace de probabilité d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire sur l'ensemble de ses résultats possibles, à valeurs dans un espace mesurable. Historiquement, la notion est née dans le contexte des jeux de hasard, en associant à chaque issue un gain numérique. On distingue deux grandes catégories de variables aléatoires. Les variables aléatoires qualitatives prennent des valeurs non numériques, comme des couleurs ou des catégories. Les variables aléatoires quantitatives prennent des valeurs numériques : elles sont dites discrètes si elles ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs et, dans la convention scolaire courante, continues lorsque leur loi admet une densité. Ces catégories ne forment pas une dichotomie exhaustive : il existe notamment des lois mixtes. Parmi les lois associées aux variables aléatoires discrètes, la loi binomiale joue un rôle fondamental : une variable aléatoire suivant cette loi est dite variable aléatoire binomiale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une issue, une valeur de variable et une probabilité.
- Reconnaître les variables qualitatives, quantitatives discrètes et les lois à densité.
- Construire et contrôler la loi du nombre de piles obtenu avec deux pièces.
En clair
On lance deux pièces et l'on note chaque résultat : pile-pile, pile-face, face-pile ou face-face. À chacun, on associe le nombre de piles obtenu : 2, 1, 1 ou 0. La variable aléatoire est cette règle d'association, pas le résultat du lancer lui-même.
Elle transforme ainsi les issues d'une expérience aléatoire en valeurs que l'on peut étudier. Les probabilités des issues déterminent alors la fréquence attendue de chacune de ces valeurs.
Définition
L'ensemble des issues Ω est muni d'une tribu et d'une mesure de probabilité : il forme un espace probabilisé. L'espace E des valeurs possibles est lui aussi muni d'une tribu. Une variable aléatoire X est alors une application mesurable, ce qui s'écrit . Elle associe à chaque issue une valeur de E, et sa mesurabilité garantit que les événements décrits à partir de X ont une probabilité.
Lorsque E contient des catégories, X peut être qualitative. Lorsque ses valeurs sont numériques, elle est quantitative. Une variable quantitative est discrète si elle prend un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Dans la convention scolaire courante, elle est dite continue lorsque sa loi admet une densité. Ses valeurs possibles forment alors souvent un intervalle, mais l'étendue de l'image ne suffit pas à elle seule pour conclure.
La loi de X est la mesure de probabilité qui attribue à chaque ensemble mesurable A de valeurs possibles la probabilité que X appartienne à A. Dans un jeu de hasard, X peut représenter un gain. Quand X compte le nombre de succès obtenu au cours d'un nombre fini fixé d'épreuves de Bernoulli indépendantes ayant toutes la même probabilité de succès, sa loi est binomiale.
Un exemple, pas à pas
Deux pièces équilibrées sont lancées. La variable X compte le nombre de piles. Les quatre issues équiprobables sont pile-pile, pile-face, face-pile et face-face. Les valeurs possibles de X sont 0, 1 et 2.
1. On applique la règle à chaque issue : pile-pile donne 2 ; pile-face et face-pile donnent 1 ; face-face donne 0.
2. Une issue sur quatre donne 0, donc .
3. Deux issues sur quatre donnent 1, donc .
4. Une issue sur quatre donne 2, donc .
2. Une issue sur quatre donne 0, donc .
3. Deux issues sur quatre donnent 1, donc .
4. Une issue sur quatre donne 2, donc .
Le contrôle consiste à additionner les probabilités : 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. La loi obtenue est la loi binomiale de paramètres 2 et 1/2. Sa représentation fait ressortir que la valeur 1 est deux fois plus probable que chacune des deux valeurs extrêmes.
En pratique
Dans un jeu de hasard, une variable aléatoire peut associer un gain à chaque issue. Si l'on veut seulement distinguer les issues, on conserve plutôt la liste des résultats ; la variable devient utile dès qu'un montant doit être comparé ou moyenné.
Pour compter des succès, on choisit une variable discrète : 0, 1 ou 2 piles dans l'exemple des deux pièces. Si la grandeur mesurée peut varier sur un continuum, comme une durée, un modèle à densité peut être préférable lorsque cette hypothèse décrit convenablement le phénomène.
Pour une réponse telle qu'une couleur ou une catégorie, une variable qualitative conserve l'information non numérique. Un codage par nombres reste possible, mais ces nombres servent alors d'étiquettes et ne justifient pas automatiquement une addition ou une moyenne.
À ne pas confondre
Issue et valeur de la variable. Pile-face est une issue, tandis que 1 est la valeur que X lui associe. Deux issues distinctes, pile-face et face-pile, peuvent donc produire la même valeur.
Variable aléatoire et loi de probabilité. X est la règle qui associe une valeur à chaque issue ; sa loi indique les probabilités de ces valeurs. Dans l'exemple, X compte les piles et sa loi attribue 1/2 à la valeur 1.
Valeur observée et probabilité. Après un lancer, X peut valoir 2 ; cette valeur n'est pas sa probabilité. Le nombre 1/4 mesure la chance d'observer X = 2 avant le lancer.
Limites et pièges
Image non dénombrable. Avoir une infinité non dénombrable de valeurs possibles ne prouve pas que la loi admet une densité. Certaines lois sans atome n'ont pas de densité ; il faut donc annoncer la convention retenue et examiner la loi, pas seulement son image.
Cas constant. Une variable peut attribuer la même valeur à toutes les issues. Sa loi concentre alors une probabilité égale à 1 sur cette valeur : l'expérience reste aléatoire, mais la variable n'enregistre aucune variation.
Mélange de comportements. Une loi peut posséder des masses ponctuelles et une partie continue. Il faut alors décrire les deux composantes au lieu de forcer le classement de toute la variable dans une seule des deux catégories usuelles.
Codage numérique. Remplacer rouge et bleu par 0 et 1 ne rend pas automatiquement la variable quantitative. Le symptôme est une opération sans sens concret, telle qu'une couleur moyenne ; il faut traiter les nombres comme des étiquettes.
Pour aller plus loin
Loi binomiale — Pour généraliser le comptage des piles à un nombre quelconque d'épreuves indépendantes de même probabilité de succès.
Espérance mathématique — Pour résumer la loi d'une variable par sa valeur moyenne théorique.
Variance d'une variable aléatoire — Pour mesurer la dispersion des valeurs autour de leur espérance.
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