Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Conjointe (loi)
La loi conjointe d'un couple de variables aléatoires (X, Y) décrit la distribution de probabilité du couple. Dans le cas discret, elle est donnée par la table P(X = xi, Y = yj) ; dans le cas continu, lorsqu'une densité conjointe existe, elle peut être représentée par une densité f(x, y). Les lois marginales s'obtiennent par sommation dans le cas discret ou par intégration de la densité conjointe lorsqu'elle existe. L'indépendance de X et Y équivaut à la factorisation de la loi conjointe en produit des lois marginales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire une loi conjointe discrète comme des probabilités attribuées à des paires.
- Calculer les lois marginales par sommation.
- Tester l'indépendance par factorisation et repérer un contre-exemple.
- Savoir pourquoi une densité conjointe bidimensionnelle peut ne pas exister.
En clair
On lance deux pièces équilibrées. Deux nombres sont observés ensemble : le premier, noté X, vaut 1 si la première pièce donne pile et 0 sinon. Le second, noté Y, compte le nombre total de piles. La loi conjointe répartit les probabilités entre toutes les paires possibles, par exemple X = 1 et Y = 2.
Elle conserve donc une information que deux listes séparées perdraient : la manière dont les valeurs de X et de Y vont ensemble. En regroupant les probabilités selon une seule variable, on retrouve sa loi marginale.
Définition
La loi conjointe d'un couple de variables aléatoires X et Y attribue une probabilité aux événements qui portent simultanément sur X et Y. Elle détermine ainsi les probabilités du couple, et pas seulement celles de chacune de ses coordonnées.
Dans le cas discret, si xi et yj désignent des valeurs possibles, le nombre pij est défini par . Tous les nombres pij sont positifs ou nuls et leur somme vaut 1. La loi marginale de X s'obtient en additionnant, pour une valeur xi fixée, toutes les probabilités correspondant aux valeurs possibles de Y. La loi marginale de Y s'obtient de la même façon en échangeant les rôles.
Lorsqu'une densité conjointe f existe dans le cas continu, la probabilité d'une région du plan est l'intégrale de f sur cette région. Les densités marginales s'obtiennent en intégrant f par rapport à l'autre variable. Les variables X et Y sont indépendantes exactement lorsque la loi conjointe se factorise en produit de leurs lois marginales ; pour des densités, cette égalité s'entend presque partout.
Le principe
Pour une loi discrète, les probabilités marginales se calculent en sommant une ligne ou une colonne de la loi conjointe. Avec pij pour la probabilité conjointe, pi· pour la marginale de X et p·j pour celle de Y, la règle est :
L'indépendance est vérifiée si, pour chaque paire de valeurs possibles, . Une seule paire pour laquelle cette égalité échoue suffit à établir que X et Y ne sont pas indépendantes.
Quand l'utiliser
La loi conjointe porte sur deux variables aléatoires définies dans la même expérience aléatoire. Dans le cas discret, il faut connaître toutes les probabilités des paires possibles ; elles doivent être positives ou nulles et totaliser 1. Dans le cas continu, la méthode par densité suppose qu'une densité conjointe existe, qu'elle soit positive ou nulle et que son intégrale sur tout le plan vaille 1.
Contre-cas : si Y est toujours égal à X et si X possède une densité, tout le couple se situe sur la droite Y = X. Il n'existe alors pas de densité conjointe ordinaire sur le plan. La loi du couple doit être décrite directement par ses probabilités sur les ensembles, sans appliquer une intégration bidimensionnelle d'une densité inexistante.
Un exemple, pas à pas
Deux pièces équilibrées sont lancées indépendamment. Les quatre issues face-face, face-pile, pile-face et pile-pile ont chacune une probabilité de 1/4. La variable X vaut 1 si la première pièce donne pile et 0 sinon. La variable Y compte le nombre total de piles, donc Y peut valoir 0, 1 ou 2. La répartition complète forme une grille de six paires, dont quatre sont possibles.
1. On associe chaque issue à une paire : face-face donne (0, 0), face-pile donne (0, 1), pile-face donne (1, 1) et pile-pile donne (1, 2).
2. Chaque paire obtenue reçoit la probabilité 1/4. Les deux autres paires, (0, 2) et (1, 0), sont impossibles et reçoivent 0. Le total vaut bien 4 × 1/4 = 1.
3. En additionnant selon Y, on trouve P(X = 0) = 1/2 et P(X = 1) = 1/2. En additionnant selon X, on trouve P(Y = 0) = 1/4, P(Y = 1) = 1/2 et P(Y = 2) = 1/4.
4. Enfin, P(X = 1, Y = 2) = 1/4, tandis que P(X = 1)P(Y = 2) = 1/2 × 1/4 = 1/8. Ces valeurs diffèrent : X et Y ne sont pas indépendantes, même si les deux lancers de pièces le sont.
En pratique
Dans le cas discret, pour calculer la probabilité de plusieurs contraintes simultanées, on sélectionne dans la loi conjointe les paires qui les satisfont, puis on additionne leurs probabilités. Dans le cas continu, lorsqu'une densité conjointe existe, on l'intègre sur la région qui satisfait ces contraintes. Deux lois marginales séparées ne suffisent généralement pas, car elles ne précisent pas comment les variables sont associées.
Pour retrouver la loi d'une seule variable, on regroupe toutes les valeurs de l'autre. Dans l'exemple des deux pièces, la probabilité Y = 1 additionne les cas (X = 0, Y = 1) et (X = 1, Y = 1), ce qui donne 1/2.
Pour tester l'indépendance, on compare chaque probabilité conjointe au produit des probabilités marginales correspondantes. Dès qu'une différence apparaît, comme 1/4 contre 1/8 dans l'exemple, le test s'arrête : les variables sont dépendantes.
À ne pas confondre
Loi conjointe et loi marginale. La loi conjointe attribue des probabilités aux paires (X, Y), tandis qu'une loi marginale ne décrit qu'une variable. Dans l'exemple, P(X = 1, Y = 2) = 1/4 est une valeur conjointe ; P(Y = 2) = 1/4 est une valeur marginale obtenue en regroupant toutes les valeurs de X.
Indépendance des lancers et indépendance des variables construites. Les deux pièces sont lancées indépendamment, mais X et Y ne le sont pas, car Y compte notamment le résultat de la première pièce. Le critère décisif porte sur la factorisation de la loi conjointe de X et Y, pas sur une propriété informelle de l'expérience.
Limites et pièges
Des marginales identiques ne déterminent pas la loi conjointe. Deux couples peuvent donner les mêmes lois séparées pour X et Y tout en associant leurs valeurs différemment. Il faut connaître les probabilités des paires ou une information équivalente sur leur dépendance.
Une case nulle peut être décisive. Dans l'exemple, P(X = 0, Y = 2) = 0 alors que P(X = 0)P(Y = 2) = 1/8. Ce seul écart réfute l'indépendance ; une case de probabilité nulle ne doit donc pas être omise du contrôle.
« Cas continu » ne garantit pas l'existence d'une densité conjointe. Si Y = X avec une variable X à densité, la loi du couple est concentrée sur une droite du plan. Il faut alors travailler avec la loi du couple elle-même ; une densité bidimensionnelle ordinaire ne peut pas représenter cette concentration.
Pour des densités, les valeurs en un point ne sont pas des probabilités. La probabilité d'une région s'obtient par intégration. De plus, deux densités qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle décrivent la même loi, d'où une factorisation exigée presque partout.
Pour aller plus loin
La loi marginale montre précisément comment passer de la description du couple à celle d'une seule variable, par sommation dans le cas discret ou intégration lorsqu'une densité conjointe existe.
La loi conjointe ouvre aussi l'étude de la dépendance : au-delà du verdict d'indépendance, elle permet d'examiner quelles paires sont favorisées, impossibles ou plus fréquentes que ne le prévoirait le produit des marginales.
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