Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Marginale (densité)
La densité marginale d'une variable aléatoire dans un vecteur aléatoire de densité jointe f est obtenue en intégrant f par rapport à toutes les autres variables. Pour un couple (X, Y) de densité jointe f(x, y), la densité marginale de X est = intégrale de f(x, y) dy. Cette opération de marginalisation permet d'étudier une composante du vecteur en faisant abstraction des autres. Les densités marginales ne déterminent pas en général la loi jointe, sauf en cas d'indépendance.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une densité marginale à l'intégration de la densité jointe.
- Reproduire les calculs des deux marginales d'une densité triangulaire.
- Contrôler la normalisation et les bornes imposées par le support.
- Distinguer marginalisation, conditionnement et indépendance.
En clair
Imaginez un point choisi au hasard dans un triangle. Ses deux coordonnées varient ensemble, mais vous pouvez ne regarder que sa position horizontale. Pour savoir où cette première coordonnée a le plus de chances de tomber, on additionne toutes les possibilités verticales compatibles avec chaque position horizontale.
Cette addition continue, réalisée par une intégrale, donne la densité marginale. L'autre coordonnée n'est pas fixée : elle est effacée du calcul après que toutes ses valeurs possibles ont été prises en compte.
Définition
Considérons deux variables aléatoires réelles, notées X et Y, qui possèdent une densité jointe f. La densité marginale de X décrit X seul. Elle s'obtient en intégrant la densité jointe sur toutes les valeurs réelles possibles de Y : . De même, la densité marginale de Y est . Ces égalités valent pour presque toute valeur de la variable considérée.
Pour un vecteur de n variables possédant une densité jointe, on conserve la composante choisie et l'on intègre par rapport aux n − 1 autres. Le domaine d'intégration doit respecter le support de la densité ; écrire la densité comme nulle hors de ce support permet aussi d'intégrer sur tout l'espace. La fonction obtenue est positive ou nulle et son intégrale totale vaut 1.
Les marginales ne conservent pas la manière dont les composantes varient ensemble. Elles ne suffisent donc généralement pas à reconstruire la densité jointe. Si l'indépendance de X et Y est connue, la densité jointe est en revanche déterminée presque partout par .
Un exemple, pas à pas
Un point aléatoire a pour coordonnées X et Y. Il est uniforme dans le triangle défini par 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.
Données : l'aire du triangle vaut 1/2 ; la densité jointe f vaut 2 dans le triangle et 0 ailleurs ; pour une abscisse x fixée entre 0 et 1, y varie de x à 1.
Données : l'aire du triangle vaut 1/2 ; la densité jointe f vaut 2 dans le triangle et 0 ailleurs ; pour une abscisse x fixée entre 0 et 1, y varie de x à 1.
1. La constante 2 normalise bien la densité, car 2 × 1/2 = 1.
2. Pour obtenir la marginale de X, on additionne la densité le long de la tranche verticale allant de y = x à y = 1 : lorsque 0 ≤ x ≤ 1, et fX(x) = 0 ailleurs. À x = 0,4, cette densité vaut exactement 2 × 0,6 = 1,2.
3. Pour Y, la tranche horizontale va de x = 0 à x = y : lorsque 0 ≤ y ≤ 1, et fY(y) = 0 ailleurs.
4. Le contrôle donne et . Les deux marginales sont donc normalisées. Le produit fX(x)fY(y) n'est pas la densité jointe : X et Y ne sont pas indépendantes.
En pratique
Quand un modèle décrit simultanément plusieurs grandeurs aléatoires, la marginalisation isole celle qui intéresse l'étude. Pour calculer une probabilité portant seulement sur X, on utilise fX ; l'intégrale double reste préférable si l'événement impose aussi une condition sur Y.
Dans une simulation de couples (X, Y), un histogramme des seules valeurs de X approche la loi marginale de X. Si l'on conserve uniquement les couples satisfaisant une condition sur Y, l'histogramme obtenu décrit plutôt une loi conditionnelle.
Pour vérifier un calcul, on contrôle que la marginale est positive ou nulle et que son intégrale vaut 1. Si ce total diffère de 1, il faut revoir les bornes liées au support ou la normalisation de la densité jointe.
À ne pas confondre
Densité marginale et densité jointe. La marginale porte sur une seule composante, tandis que la densité jointe attribue une densité aux couples. Dans l'exemple triangulaire, fX(0,4) = 1,2 est une valeur sur l'axe des x ; f(0,4 ; 0,8) = 2 décrit le couple (0,4 ; 0,8).
Densité marginale et densité conditionnelle. Marginaliser revient à intégrer sur toutes les valeurs de Y. Conditionner revient à fixer une information sur Y puis à renormaliser. Dans le triangle, sachant Y = y avec , X a une densité uniforme sur [0, y] ; ce n'est pas la marginale fX(x) = 2(1 − x).
Densité et fonction de répartition marginales. La densité fX se lit localement et peut dépasser 1. La fonction de répartition donne la probabilité P(X ≤ x), reste entre 0 et 1 et s'obtient en intégrant fX jusqu'à x. Ainsi fX(0,4) = 1,2 n'est pas une probabilité.
Limites et pièges
Mêmes marginales, dépendances différentes. Soit θ un paramètre réel compris entre −1 et 1. Sur le carré [0, 1]2, les densités ont les mêmes marginales uniformes. Pourtant θ = 0 donne l'indépendance, tandis que θ ≠ 0 produit une dépendance. Il ne faut donc jamais reconstruire une loi jointe à partir des seules marginales sans hypothèse supplémentaire.
Support mal pris en compte. Dans l'exemple triangulaire, pour x = 0,4, seules les valeurs de y comprises entre 0,4 et 1 contribuent. Intégrer la constante 2 sur tout [0, 1] donnerait à tort 2 au lieu de 1,2. Il faut intégrer sur la tranche réelle du support, ou définir f = 0 hors du triangle.
Absence de densité jointe. Certaines lois sont discrètes ou concentrées sur une courbe et ne possèdent pas de densité par rapport à l'aire du plan. L'intégrale de f(x, y) ne s'applique alors pas telle quelle : on somme les probabilités dans le cas discret ou l'on marginalise la loi au moyen des ensembles mesurables.
Égalités ponctuelles. Deux versions d'une densité peuvent différer sur un ensemble d'aire nulle sans changer la loi. Les formules de marginalisation et la factorisation caractérisant l'indépendance s'entendent donc presque partout, et non nécessairement en chaque point.
Pour aller plus loin
La fiche variable aléatoire précise comment une grandeur numérique dépend d'une expérience aléatoire, avant son intégration dans un vecteur et sa marginalisation.
La fiche vecteur aléatoire développe le cadre où plusieurs variables sont étudiées ensemble et où chaque composante possède une loi marginale.
La fiche Conjointe (densité) approfondit l'information portée par les couples, avant que l'intégration n'en conserve qu'une composante.
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