Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Conditionnelle (densité)
La notion de conditionnelle recouvre plusieurs concepts liés en théorie des probabilités. La probabilité conditionnelle de A sachant B est P(A|B) = P(A∩B) / P(B). La loi conditionnelle de X sachant Y = y est la distribution de probabilité de X connaissant Y. La densité conditionnelle de X sachant Y = y est f(x|y) = f(x,y)/f_Y(y) pour des variables continues. L'espérance E[X|B], conditionnée par l'événement B, est un nombre ; l'espérance conditionnelle E[X|Y] est une variable aléatoire qui dépend de l'information portée par Y.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier probabilité, loi, densité et espérance conditionnelles sans les confondre.
- Calculer une densité conditionnelle à partir d'une densité jointe et d'une densité marginale.
- Reconnaître les cas où le dénominateur est nul et où le quotient usuel ne s'applique pas.
En clair
Imaginez un point choisi au hasard dans un triangle. Avant toute information, sa position horizontale peut occuper toute la largeur du triangle. Si sa hauteur est connue, seules les positions de la tranche correspondante restent possibles.
Conditionner consiste à refaire le partage des probabilités avec cette information. Pour une variable continue, une densité conditionnelle décrit alors comment se répartissent les valeurs encore possibles ; sa surface totale vaut 1.
Définition
Pour deux événements A et B, la probabilité de A sachant B ne porte plus que sur les issues où B se réalise. Elle n'est définie que si la probabilité de B est strictement positive : .
Pour deux variables aléatoires X et Y, la loi conditionnelle de X sachant Y = y est la distribution de X une fois la valeur y de Y connue. Dans le cas continu, la densité jointe de X et Y est notée fX,Y, et la densité marginale de Y est notée fY. Aux valeurs y où fY(y) est strictement positive, une version de la densité conditionnelle est donnée par . Elle doit être non négative et son intégrale par rapport à x vaut 1.
L'espérance conditionnelle de X sachant une information résume la valeur moyenne prévisible de X avec cette information. C'est une variable aléatoire lorsqu'on conditionne par Y, et un nombre lorsqu'on fixe une valeur y admissible.
Un exemple, pas à pas
Un point de coordonnées X et Y est choisi uniformément dans le triangle défini par 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. La densité jointe vaut 2 dans ce triangle et 0 ailleurs. On apprend que Y = 0,8 et l'on cherche la répartition de X.
1. À la hauteur y, les valeurs possibles de x vont de 0 à y.
2. La densité marginale de Y vaut pour 0 < y < 1.
3. À y = 0,8, la densité conditionnelle vaut 2 ÷ 1,6 = 1,25 sur l'intervalle [0 ; 0,8], et 0 ailleurs.
4. La probabilité conditionnelle que X ≤ 0,4 est donc 1,25 × 0,4 = 0,5.
5. La moyenne conditionnelle de X est le milieu de l'intervalle : 0,4.
2. La densité marginale de Y vaut pour 0 < y < 1.
3. À y = 0,8, la densité conditionnelle vaut 2 ÷ 1,6 = 1,25 sur l'intervalle [0 ; 0,8], et 0 ailleurs.
4. La probabilité conditionnelle que X ≤ 0,4 est donc 1,25 × 0,4 = 0,5.
5. La moyenne conditionnelle de X est le milieu de l'intervalle : 0,4.
Le contrôle est immédiat : la surface sous la densité conditionnelle est 1,25 × 0,8 = 1. La tranche rouge de la figure matérialise l'ensemble des valeurs de X encore possibles lorsque Y vaut 0,8.
En pratique
Dans un arbre de probabilités, les probabilités inscrites sur les branches sont souvent déjà conditionnelles et s'utilisent directement. Lorsqu'il faut calculer explicitement P(A|B), on divise P(A∩B) par P(B), avec P(B) > 0 ; si l'on cherche au contraire la probabilité d'une cause à partir d'un effet, la formule de Bayes inverse le point de vue.
Avec des mesures continues, une information exacte Y = y conduit à utiliser une densité conditionnelle. Si l'information est plutôt Y ∈ I, on conditionne par cet événement et l'on calcule les probabilités sur l'intervalle I, sous réserve que P(Y ∈ I) > 0. Une loi discrète est préférable lorsque les résultats possibles se comptent, car elle attribue directement une probabilité à chaque valeur.
Pour prévoir une quantité numérique à partir d'une information, l'espérance conditionnelle fournit une valeur moyenne adaptée à ce qui est connu. Si l'objectif est la distribution complète des valeurs possibles, il faut conserver la loi conditionnelle plutôt que cette seule moyenne.
À ne pas confondre
Probabilité conditionnelle et probabilité d'une intersection. La première est recalibrée sur B, tandis que la seconde mesure directement la réalisation simultanée de A et B. Si P(A ∩ B) = 0,2 et P(B) = 0,5, alors P(A | B) = 0,4, et non 0,2.
Conditionnement et indépendance. Conditionner utilise une information ; l'indépendance signifie que cette information ne modifie pas la probabilité considérée. Pour des événements indépendants avec P(B) > 0, on obtient P(A | B) = P(A), mais cette égalité n'est pas vraie en général.
Limites et pièges
Événement de probabilité nulle. La formule P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) est inutilisable si P(B) = 0. Pour une variable continue, l'événement Y = y a justement souvent une probabilité nulle ; la densité conditionnelle se définit alors par une construction adaptée, pas par ce quotient d'événements.
Dénominateur nul. Le quotient fX,Y(x,y) / fY(y) ne s'emploie qu'aux valeurs où fY(y) > 0. Ailleurs, la formule ne fixe aucune densité conditionnelle ; une version peut être choisie sans modifier les probabilités observables.
Densité ou probabilité. La valeur 1,25 trouvée dans l'exemple est une densité et peut dépasser 1. La probabilité s'obtient par une aire : sur [0 ; 0,4], elle vaut 1,25 × 0,4 = 0,5 et reste comprise entre 0 et 1.
Pour aller plus loin
La Conditionnelle (loi) développe la distribution obtenue après observation, tandis que la Conditionnelle (espérance) approfondit la moyenne prédictive associée à l'information connue.
La Conditionnelle (probabilité) revient sur le cas des événements. La formule de Bayes montre ensuite comment échanger l'événement conditionné et l'événement conditionnant.
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