Conditionnelle (probabilité)

Un sac contient dix jetons : six sont rouges, et deux de ces jetons rouges portent un triangle. Sans information, les dix jetons sont possibles. Si l’on apprend que le jeton tiré est rouge, les quatre autres ne comptent plus : l’univers pertinent se réduit aux six rouges.

La probabilité d’avoir un triangle sachant que le jeton est rouge compare alors les deux triangles rouges aux six possibilités restantes. Conditionner, c’est donc réévaluer une probabilité avec l’information devenue disponible.

Soient A l’événement étudié et B l’événement connu. Lorsque la probabilité de B est strictement positive, la probabilité de A sachant B est la part de B où A se réalise. L’intersection de A et B est notée A ∩ B. La définition est :

Les lois, densités et espérances conditionnelles prolongent cette idée lorsque l’information porte sur des variables aléatoires. Leurs définitions et leurs cadres propres sont présentés dans les fiches liées ; ici, le quotient événementiel reste le repère pour calculer P(A|B).

On tire au hasard un jeton parmi dix jetons équiprobables. Six jetons sont rouges ; parmi eux, deux portent un triangle. Les quatre autres jetons ne sont pas rouges. On cherche la probabilité que le jeton porte un triangle, sachant qu’il est rouge.

1. Notons A l’événement « le jeton porte un triangle » et B l’événement « le jeton est rouge ».
2. L’événement B contient 6 issues sur 10, donc P(B) = 6/10.
3. L’intersection A ∩ B contient les 2 triangles rouges, donc P(A ∩ B) = 2/10.
4. On divise la probabilité de l’intersection par celle de l’information connue : $P(A\mid B)=\frac{2\mathrm{/}10}{6\mathrm{/}10}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}P(A\backslash mid\; B)=\backslash frac\{2/10\}\{6/10\}=\backslash frac\{2\}\{6\}=\backslash frac\{1\}\{3\}$.

La probabilité cherchée vaut exactement 1/3. Le contrôle se fait directement dans l’univers réduit : parmi les six jetons rouges encore possibles, deux portent un triangle, soit 2/6 = 1/3. Le schéma matérialise ce passage des dix jetons aux six jetons compatibles avec l’information.

Dans un arbre de probabilités, chaque branche prise devient l’information connue. La probabilité inscrite sur la branche suivante est conditionnelle à ce chemin. Si l’on connaît seulement des effectifs, on peut plutôt restreindre le comptage au groupe compatible, comme pour les six jetons rouges.

Pour mettre à jour un risque après une observation, on compare les cas qui satisfont à la fois le risque et l’observation à tous les cas compatibles avec l’observation. Lorsque l’on veut inverser le sens du conditionnement, par exemple passer de P(A|B) à P(B|A), la formule de Bayes est l’outil adapté ; une simple permutation des lettres serait fausse.

Avec des variables numériques, une seule probabilité ne décrit pas toujours assez la situation. On emploie alors une loi conditionnelle pour conserver toute la distribution, ou une espérance conditionnelle si une moyenne tenant compte de l’information suffit à la décision.

Probabilité conditionnelle et probabilité d’une intersection. P(A|B) est calculée dans l’univers restreint par B, tandis que P(A ∩ B) mesure la réalisation simultanée de A et B dans l’univers initial. Dans le sac, ces valeurs sont respectivement 1/3 et 2/10.

Conditionnement et indépendance. Les événements A et B sont indépendants lorsque connaître B ne change pas la probabilité de A, donc P(A|B) = P(A), à condition que P(B) soit positive. Une égalité constatée dans un exemple peut établir cette indépendance ; le fait que A et B puissent se produire ensemble ne suffit pas.

P(A|B) et P(B|A). Ces deux probabilités n’ont pas le même dénominateur et ne sont généralement pas égales. La première retient les cas où B est réalisé ; la seconde retient ceux où A est réalisé. La formule de Bayes relie les deux sans les confondre.

Événement impossible. La formule élémentaire ne définit pas P(A|B) lorsque P(B) = 0, car son dénominateur est nul. Il faut alors changer de cadre : pour des variables continues, on définit une loi conditionnelle à l’aide de densités ou d’une version régulière, lorsque son existence est assurée.

Valeur continue observée. Pour une variable continue, l’événement Y = y a souvent une probabilité nulle. On ne peut donc pas lui appliquer directement le quotient des probabilités. La formule des densités exige f_Y(y) > 0 ; aux points où cette densité est nulle, le quotient ne fournit pas de valeur conditionnelle.

Information mal délimitée. Le résultat dépend précisément de ce qui est connu. Dans l’exemple, « rouge » laisse six issues, tandis qu’une information plus fine pourrait en laisser moins. Il faut écrire l’événement conditionnant avant de compter et garder le même dénominateur pendant tout le calcul.

Espérance conditionnelle non unique point par point. Conditionnée par une variable ou une tribu, elle est définie à égalité presque sûre près : deux versions peuvent différer sur un ensemble de probabilité nulle sans représenter des prédictions différentes au sens probabiliste.

La Conditionnelle (loi) prolonge une probabilité isolée en décrivant toute la distribution d’une variable sous une information donnée.

La Conditionnelle (densité) précise le quotient de densités utilisé lorsque les variables sont continues.

La Conditionnelle (espérance) montre comment résumer une variable par sa moyenne en fonction de l’information disponible.

La fiche Bayes Thomas situe le nom associé à la formule qui inverse le sens d’un conditionnement.