loi sans mémoire

Une alarme attend de se déclencher. Après vingt minutes de silence, on pourrait croire qu’elle est désormais « plus proche » de son déclenchement. Avec une loi sans mémoire, ces vingt minutes ne changent rien à l’attente restante. À partir de maintenant, ses chances de rester silencieuse dix minutes de plus sont les mêmes qu’au tout début.

Le passé confirme seulement que l’événement n’a pas encore eu lieu. Il ne fait ni vieillir ni rajeunir le mécanisme probabiliste.

Soit X une variable aléatoire réelle positive représentant une durée, définie sur un espace de probabilité (Ω, F, P), où P désigne la probabilité. Pour chaque durée t positive ou nulle, on suppose que P(X > t) est strictement positive, afin que le conditionnement par la survie jusqu’à t soit défini. La loi de X est sans mémoire si, pour toutes durées s et t positives ou nulles, $P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)P(X\; >\; s+t\; \backslash mid\; X\; >\; t)=P(X\; >\; s)$. La durée résiduelle X − t, sachant que X dépasse t, suit donc la même loi de survie que la durée initiale X.

Parmi les lois admettant une densité, cette propriété caractérise exactement les lois exponentielles. Si leur paramètre est noté α, il est un taux positif et, pour toute durée u strictement positive, vérifie $\alpha =-\frac{\ln P(X>u)}{u}\backslash alpha=-\backslash frac\{\backslash ln\; P(X>u)\}\{u\}$. En probabilités discrètes, la loi géométrique est l’unique analogue sans mémoire ; selon la convention, elle compte le nombre d’essais jusqu’au premier succès ou le nombre d’échecs avant celui-ci.

Pour tester une durée positive X, on choisit deux durées s et t positives ou nulles, avec P(X > t) > 0. Le critère s’écrit : $\frac{P(X>s+t)}{P(X>t)}=P(X>s)\backslash frac\{P(X>s+t)\}\{P(X>t)\}=P(X>s)$. Si cette égalité vaut pour tous s et t, la loi est sans mémoire. Pour une loi exponentielle de paramètre α positif, elle résulte de $e^{-\alpha (s+t)}\mathrm{/}{e}^{-\alpha t}=e^{-\alpha s}e^\{-\backslash alpha(s+t)\}/e^\{-\backslash alpha\; t\}=e^\{-\backslash alpha\; s\}$.

Le critère porte sur une variable aléatoire positive interprétée comme une durée, et non sur une seule observation. Il faut connaître sa fonction de survie et vérifier l’identité pour chaque couple de durées s et t positives ou nulles. La condition P(X > t) > 0 garantit que la probabilité conditionnelle existe.

Un contrôle à un seul instant ne suffit pas. Pour une attente uniforme entre 0 et 60 minutes, la probabilité initiale de dépasser 10 minutes vaut 5/6. Après 50 minutes d’attente, la probabilité de dépasser 10 minutes supplémentaires vaut 0 : la loi n’est pas sans mémoire. Il faut alors employer la loi conditionnelle de la durée résiduelle, qui dépend du temps déjà écoulé.

Une alarme a un temps d’attente X exponentiel de taux 0,1 par minute. Sa fonction de survie vaut $P(X>u)=e^{-\mathrm{0,1}u}P(X>u)=e^\{-0\{,\}1u\}$, où u désigne une durée en minutes. On veut calculer la probabilité qu’elle reste silencieuse 10 minutes supplémentaires, sachant qu’elle l’est déjà depuis 20 minutes.

1. La survie pendant 30 minutes vaut $P(X>30)=e^{-3}P(X>30)=e^\{-3\}$.
2. La survie pendant 20 minutes vaut $P(X>20)=e^{-2}P(X>20)=e^\{-2\}$.
3. La probabilité conditionnelle est donc $\frac{e^{-3}}{e^{-2}}=e^{-1}\approx \mathrm{0,3679}\backslash frac\{e^\{-3\}\}\{e^\{-2\}\}=e^\{-1\}\backslash approx0\{,\}3679$.
4. Au départ, la probabilité d’attendre plus de 10 minutes est aussi $P(X>10)=e^{-1}\approx \mathrm{0,3679}P(X>10)=e^\{-1\}\backslash approx0\{,\}3679$.

Les deux résultats coïncident : vingt minutes déjà écoulées n’ont pas modifié la probabilité des dix minutes suivantes. Le graphique associé superpose la survie initiale et la survie conditionnelle ; leur coïncidence sur toute la durée constitue un contrôle visuel du calcul.

En fiabilité, un modèle exponentiel convient lorsque le taux de défaillance peut être considéré comme constant. Si l’usure fait augmenter ce taux avec l’âge, une autre loi de durée de vie doit être choisie.

Pour modéliser un temps d’attente, la propriété autorise à repartir du même calcul après toute période déjà écoulée. Si le mécanisme change avec l’heure ou l’environnement, l’attente résiduelle doit être recalculée avec ces nouvelles informations.

Dans une suite d’essais indépendants ayant la même probabilité de succès, la loi géométrique joue le même rôle en temps discret. Dans le cas non dégénéré où les probabilités de succès sont strictement comprises entre 0 et 1, si elles varient d’un essai à l’autre, la propriété disparaît.

Indépendance de deux durées. La propriété sans mémoire compare une durée résiduelle conditionnelle à la durée initiale ; elle n’affirme pas que les événements « X > t » et « X > s + t » sont indépendants. Ils sont même emboîtés lorsque s est positif.

Absence de mémoire d’un processus. Ici, la propriété concerne la loi d’une durée positive. Une propriété de Markov décrit, plus largement, l’avenir d’un processus conditionnellement à son état présent. Une chaîne peut être markovienne sans que toute durée qu’on en extrait suive une loi exponentielle ou géométrique.

Égalité ponctuelle. Observer la même probabilité résiduelle pour 10 minutes après 20 minutes ne prouve rien à lui seul. Le critère doit tenir pour tous les couples s et t autorisés.

Conditionnement impossible. Si P(X > t) = 0 à un instant t, la probabilité conditionnelle utilisée dans la définition n’est pas définie. Il faut restreindre le domaine aux instants où la survie est positive, sans prétendre satisfaire la formulation globale de la source.

Paramètre nul. Dans une loi exponentielle propre, α doit être strictement positif. La valeur α = 0 donnerait une survie constante égale à 1 et donc aucune durée finie, ce qui ne définit pas une loi de probabilité réelle positive usuelle.

Convention discrète. Une loi géométrique peut commencer à 0 ou à 1 selon ce qu’elle compte. Avant d’appliquer la propriété, il faut fixer si la variable dénombre les échecs avant le premier succès ou le rang de ce succès.

La fonction de survie fournit le langage naturel du critère et montre pourquoi un quotient de probabilités intervient.

La loi exponentielle développe le modèle continu caractérisé par la propriété sans mémoire.

La loi géométrique présente l’analogue discret et ses conventions de comptage.