Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi gamma
La loi gamma est une famille de lois de probabilité continues définies sur ]0, +∞[, paramétrée par un paramètre de forme α > 0 et un paramètre d'échelle β > 0. Sa densité est f(x) = [x^(α−1) · e^(−x/β)] / [β^α · Γ(α)], où Γ désigne la fonction gamma d'Euler. L'espérance est αβ et la variance est αβ². La loi gamma généralise plusieurs lois importantes : la loi exponentielle correspond au cas α = 1, et la loi du khi-deux à n degrés de liberté correspond au cas α = n/2, β = 2. Lorsque α est un entier positif, la loi gamma(α, β) est la loi de la somme de α variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1/β. Elle intervient en fiabilité, en file d'attente, en physique et dans de nombreux modèles bayésiens comme loi a priori conjuguée du taux de certains modèles exponentiels ou de Poisson, sous les hypothèses usuelles et, le cas échéant, à exposition connue.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le support positif et le rôle des paramètres de forme et d’échelle.
- Calculer la densité, l’espérance et la variance avec la convention où β est une échelle.
- Reconnaître les cas exponentiel et khi-deux.
- Éviter de confondre densité ponctuelle, probabilité et fonction gamma d’Euler.
En clair
Une équipe attend trois événements successifs, chacun pouvant survenir après une durée imprévisible. Elle additionne les trois temps d’attente. Si ces durées sont indépendantes et suivent des lois exponentielles de même taux, donc de même échelle, leur total suit une loi gamma.
Cette loi décrit donc une grandeur positive, comme une durée. Son paramètre de forme α règle la silhouette de la distribution ; son paramètre d’échelle β étire ou resserre les valeurs. Dans l’exemple α vaut 3 et β vaut 2 minutes : le temps total moyen est de 6 minutes. La courbe de densité montre comment les durées possibles se répartissent autour de cette échelle.
Définition
La loi gamma est une famille de lois de probabilité continues pour une variable aléatoire positive X. Elle dépend d’un paramètre de forme α strictement positif et d’un paramètre d’échelle β strictement positif. Pour une valeur x strictement positive, sa densité est :
La fonction Γ qui apparaît au dénominateur est la fonction gamma d’Euler. L’espérance de X, c’est-à-dire sa valeur moyenne, vaut . Sa variance, qui mesure la dispersion quadratique, vaut . Lorsque α vaut 1, la loi gamma devient une loi exponentielle. Une loi du khi-deux à n degrés de liberté est une loi gamma de forme n/2 et d’échelle 2. Si α est un entier positif, X peut aussi être lu comme la somme de α variables indépendantes ayant toutes une loi exponentielle de paramètre 1/β. Cette famille intervient notamment en fiabilité, dans les files d’attente, en physique et comme loi a priori conjuguée du taux d’un modèle exponentiel ou de Poisson, selon la paramétrisation retenue et sous les hypothèses usuelles.
Le principe
Soient un paramètre de forme α > 0 et un paramètre d’échelle β > 0. Si la variable aléatoire continue X suit la loi gamma correspondante, sa densité est nulle hors des valeurs strictement positives et, pour x > 0, elle vaut :
La moyenne se calcule par et la variance par . Ces deux résultats utilisent la convention où β est une échelle.
Quand l'utiliser
La loi gamma s’applique à une variable continue dont les valeurs sont strictement positives. Il faut fixer une forme α > 0 et une échelle β > 0 ; ces deux paramètres déterminent alors la densité, l’espérance et la variance. Pour une durée, β s’exprime dans la même unité que la variable, tandis que la variance s’exprime dans l’unité au carré.
Une valeur nulle ou négative n’a aucune densité dans ce modèle : si la grandeur observée peut prendre des valeurs des deux signes, il faut choisir une loi définie sur un autre domaine. L’interprétation comme somme d’attentes exponentielles indépendantes de même taux exige en plus que α soit un entier positif. Pour α non entier, la densité gamma reste valide, mais cette lecture comme somme d’un nombre fini α de durées ne l’est plus.
Un exemple, pas à pas
On modélise le temps total avant le troisième événement d’une suite d’attentes indépendantes. Chaque attente suit la même loi exponentielle d’échelle 2 minutes. Les données sont donc : une forme α = 3, une échelle β = 2 minutes et une durée testée x = 4 minutes.
1. Comme la forme est l’entier 3, le total des trois attentes suit une loi gamma de paramètres α = 3 et β = 2 minutes.
2. La fonction gamma d’Euler vérifie ici . La densité devient pour x > 0.
3. À 4 minutes, le calcul donne par minute. Cette valeur est une densité, et non la probabilité d’attendre exactement 4 minutes.
4. Le temps moyen vaut minutes et la variance vaut minutes carrées. On contrôle ces résultats en additionnant les trois moyennes de 2 minutes et les trois variances de 4 minutes carrées des attentes indépendantes.
En pratique
En fiabilité, la loi gamma peut modéliser un temps positif obtenu en cumulant plusieurs durées exponentielles indépendantes de même taux. Si l’on attend un seul événement, le cas exponentiel α = 1 suffit ; pour plusieurs attentes successives de même échelle, une forme entière supérieure convient au cumul.
Dans une file d’attente, on choisit la loi gamma lorsque la quantité étudiée est la somme de plusieurs temps exponentiels indépendants de même taux, donc de même échelle. Le nombre de temps additionnés fixe alors la forme entière, et leur échelle commune fixe β. Pour une seule attente, la loi exponentielle, cas α = 1, est la description la plus directe.
En statistique bayésienne, une loi gamma sert de loi a priori conjuguée pour le taux commun d’observations indépendantes suivant un modèle exponentiel, ou pour le taux d’un modèle de Poisson à exposition connue. Sous ces hypothèses de vraisemblance, la mise à jour reste dans la famille gamma ; un modèle non conjugué est l’alternative si cette conservation n’est pas recherchée.
À ne pas confondre
Loi gamma et fonction gamma d’Euler. La première est une distribution de probabilité pour une variable positive ; la seconde est la fonction Γ utilisée pour normaliser sa densité. Dans Γ(3) = 2, Γ fournit un nombre : elle ne décrit pas à elle seule une variable aléatoire.
Limites et pièges
Confondre échelle et taux. Dans cette fiche, β est une échelle et l’exponentielle associée a pour paramètre de taux 1/β. Si une source place β dans l’exponentielle sous la forme e−βx, elle emploie un taux : il faut convertir avant de reprendre les formules de moyenne et de variance.
Étendre la densité aux valeurs négatives. Le facteur algébrique de la formule ne suffit pas à définir la loi hors de son support. Pour x ≤ 0, la densité gamma est nulle ; il ne faut pas substituer une valeur négative dans la formule réservée à x > 0.
Forcer l’image d’une somme. Le cas charnière α = 1 donne une seule attente exponentielle, et tout entier positif α donne une somme de α attentes exponentielles indépendantes de même taux. Si α = 2,5, parler de 2,5 attentes n’a pas de sens : il faut utiliser directement la densité gamma.
Lire une densité comme une probabilité ponctuelle. Dans l’exemple, f(4) ≈ 0,1353 par minute n’est pas la probabilité que X vaille exactement 4 minutes. Pour une loi continue, une probabilité porte sur un intervalle et s’obtient en intégrant la densité sur cet intervalle.
Pour aller plus loin
loi exponentielle — Elle détaille le cas α = 1 et l’attente élémentaire dont les sommes de copies indépendantes de même taux conduisent à la loi gamma.
Khi-deux (loi du) — Elle approfondit le cas gamma d’échelle 2 et relie le paramètre de forme au nombre de degrés de liberté.
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