Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Weibull
La loi de Weibull est une loi de probabilité continue utilisée principalement pour modéliser des durées de vie ou des temps de défaillance de composants ou de systèmes. Elle généralise la loi exponentielle et offre une grande souplesse de forme grâce à ses paramètres. Dans sa forme à trois paramètres, la loi de Weibull est définie par un paramètre de forme β > 0, un paramètre d'échelle η > 0 et un paramètre de position (ou de décalage) γ ≥ 0. Le taux de défaillance (ou taux d'avarie) λ(t) est donné par λ(t) = (β/η) · [(t − γ)/η]^(β−1) pour t > γ. Ce taux est constant pour β = 1 (loi exponentielle standard si γ = 0, exponentielle décalée si γ > 0), croissant pour β > 1 (vieillissement) et décroissant pour β < 1 (rodage ou mortalité infantile), ce qui rend la loi de Weibull particulièrement adaptée à l'analyse de fiabilité des systèmes industriels. Elle est largement employée en ingénierie, en analyse de survie et en sciences des matériaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les régimes β < 1, β = 1 et β > 1.
- Calculer une probabilité de défaillance et une probabilité de survie.
- Lire le rôle des paramètres de forme, d'échelle et de position.
En clair
Imaginez un lot de composants identiques mis en service au même instant. Certains tombent en panne tôt, d'autres beaucoup plus tard. La loi de Weibull décrit la répartition de ces durées et, surtout, la manière dont le risque de panne évolue avec le temps.
Un paramètre indique si les défaillances deviennent moins fréquentes, restent au même rythme ou augmentent avec l'âge. Deux autres règlent l'échelle de temps et un éventuel décalage du départ.
Définition
La loi de Weibull est une loi de probabilité continue pour une durée de vie ou un temps de défaillance. Dans sa forme à trois paramètres, le paramètre de forme β est strictement positif, le paramètre d'échelle η est strictement positif et le paramètre de position γ est positif ou nul. La variable de temps est notée t et le modèle porte sur les instants t > γ.
La probabilité qu'une défaillance se soit produite avant l'instant t est la fonction de répartition F. Pour t > γ, elle s'écrit . La probabilité de fonctionner encore à l'instant t, appelée fonction de survie, vaut donc .
Le paramètre β gouverne la forme du risque au cours du temps. Pour β = 1, le taux de défaillance est constant : la loi est exponentielle décalée si γ > 0, et exponentielle standard si γ = 0. Pour β > 1, ce taux augmente, ce qui traduit un vieillissement. Pour β < 1, il diminue, situation associée au rodage ou à la mortalité infantile. Cette souplesse explique l'emploi du modèle en fiabilité industrielle, en analyse de survie et en sciences des matériaux.
Le principe
Soit un temps t postérieur au décalage γ. Si le paramètre de forme β et le paramètre d'échelle η sont strictement positifs, le taux de défaillance λ à l'instant t est :
La valeur de β donne le verdict qualitatif : le taux diminue si β < 1, reste constant si β = 1 et augmente si β > 1.
Quand l'utiliser
Le modèle s'applique à une grandeur continue qui mesure une durée de vie ou un temps de défaillance. Il faut disposer d'un paramètre de forme β > 0, d'une échelle η > 0 et, pour la version à trois paramètres, d'un décalage γ ≥ 0. Le temps observé doit être exprimé dans la même unité que η et γ.
Pour t ≤ γ, la fonction de répartition vaut F(t) = 0. La formule du taux donnée pour la loi de Weibull s'applique uniquement lorsque t > γ ; c'est sur ce domaine que l'on travaille avec la durée positive t − γ.
Un exemple, pas à pas
Un lot de composants suit une loi de Weibull. Données : le paramètre de forme vaut β = 2, l'échelle vaut η = 1 000 heures, le décalage vaut γ = 0 et l'instant étudié est t = 500 heures.
1. La durée réduite est (t − γ)/η = 500/1 000 = 0,5.
2. La probabilité de défaillance avant 500 heures est , soit 22,12 %.
3. La probabilité de fonctionner encore après 500 heures est 1 − 0,2212 = 0,7788, soit 77,88 %.
4. Le taux instantané vaut (2/1 000) × 0,5 = 0,001 par heure. Le contrôle est cohérent : β = 2 > 1, donc ce taux doit augmenter avec le temps.
La courbe de survie de ce lot part de 100 % et décroît ; le point correspondant à 500 heures se situe bien à environ 77,9 %.
En pratique
En fiabilité industrielle, on ajuste la loi aux durées de fonctionnement pour relier l'âge d'un composant à son risque de panne. Si le taux reste constant, le cas β = 1 donne un modèle exponentiel décalé lorsque γ > 0, et le modèle exponentiel standard lorsque γ = 0.
En analyse de survie, on décrit la part d'une population qui n'a pas encore connu l'événement étudié à une date donnée. Le signe de β − 1 indique le comportement du taux de survenue : il diminue si β est inférieur à 1, reste constant si β = 1 et augmente si β est supérieur à 1.
En sciences des matériaux, on compare des durées avant défaillance. L'échelle η place le phénomène dans le temps, tandis que β distingue notamment un régime de rodage d'un régime de vieillissement.
À ne pas confondre
Loi de Weibull et loi exponentielle. La loi exponentielle impose un taux de défaillance constant. La loi de Weibull permet aussi un taux décroissant ou croissant. Lorsque β = 1, la loi de Weibull est une loi exponentielle décalée si γ > 0 et coïncide avec la loi exponentielle standard seulement si γ = 0 ; lorsque β ≠ 1, le taux Weibull varie avec le temps.
Limites et pièges
Le seuil β = 1 change la lecture. Pour β < 1, le taux décroît ; pour β > 1, il croît. À β = 1 exactement, parler de rodage ou de vieillissement serait trompeur : le taux est constant.
Le support et le domaine de la formule doivent être distingués. Dans la forme à trois paramètres, F(t) = 0 pour t ≤ γ. La formule du taux s'emploie seulement pour t > γ, avec la durée positive t − γ.
L'échelle doit garder son unité. Si t est exprimé en heures, η et γ doivent l'être aussi. Sinon, le rapport (t − γ)/η perd son sens ; il faut convertir toutes les durées dans une unité commune avant le calcul.
Pour aller plus loin
loi exponentielle — Examinez le cas particulier β = 1, dans lequel le taux de défaillance devient constant.
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