Weibull Waloddi

En 1939, Waloddi Weibull présente un modèle pour décrire des durées de vie et des ruptures. Imaginez cent pièces identiques mises en service ensemble. Certaines cèdent tôt, d’autres beaucoup plus tard : la distribution de Weibull traduit cette dispersion par une courbe de probabilité.

Deux réglages donnent son allure au modèle. L’un fixe l’échelle de temps ; l’autre indique si les défaillances deviennent moins fréquentes, restent régulières ou se multiplient avec l’âge. La loi ne prédit pas l’instant exact où une pièce cassera. Elle décrit les proportions attendues dans un ensemble comparable.

Waloddi Weibull (1887-1979) est un ingénieur et mathématicien suédois, né dans le Schleswig-Holstein au sein d’une famille comptant de nombreux scientifiques et historiens, et mort à Annecy. D’abord officier de marine, il devient inventeur et ingénieur-conseil auprès d’entreprises suédoises et allemandes. Il publie de nombreux travaux sur la résistance des matériaux. Il présente en 1939 la distribution statistique qui porte son nom, puis en développe les propriétés et les applications en 1951.

La loi de Weibull modélise une variable aléatoire positive, par exemple une durée avant rupture. Pour une durée notée t, avec t ≥ 0, sa fonction de survie donne la probabilité que la durée dépasse t. Le paramètre d’échelle η est strictement positif et s’exprime dans la même unité que t. Le paramètre de forme β est lui aussi strictement positif et ne porte pas d’unité.

La fonction de survie est $S(t)=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}[-{\left(\frac{t}{\eta }\right)}^{\beta }]S(t)=\backslash exp\backslash !\backslash left[-\backslash left(\backslash frac\{t\}\{\backslash eta\}\backslash right)^\{\backslash beta\}\backslash right]$. Quand β = 1, la loi de Weibull devient une loi exponentielle. Quand β < 1, le taux instantané de défaillance décroît avec le temps ; quand β > 1, il croît. À t = η, la survie vaut exactement e⁻¹, soit environ 36,8 %.

On modélise la durée de vie de cent pièces comparables. Les données du modèle sont : une échelle η de 1 000 heures, une forme β égale à 2 et une durée observée t de 500 heures. On cherche la proportion de pièces encore en service après 500 heures.

1. On forme le rapport 500 / 1 000 = 0,5.
2. On l’élève au carré : 0,5² = 0,25.
3. On calcule la survie : $S(500)=\exp (-\mathrm{0,25})\approx \mathrm{0,7788}S(500)=\backslash exp(-0\{,\}25)\backslash approx0\{,\}7788$.
4. On multiplie cette proportion par 100 : environ 77,88 pièces, soit environ 78 pièces sur 100.

Le modèle prévoit donc qu’environ 77,9 % des pièces dépassent 500 heures, tandis qu’environ 22,1 % ont cédé avant ou à cet instant. La courbe de survie rend visible ce calcul et la diminution progressive de la proportion attendue.

Un contrôle direct consiste à additionner les deux proportions arrondies : 77,9 % + 22,1 % = 100,0 %. Le nombre 78 est une moyenne attendue arrondie, pas la garantie que tout lot réel de cent pièces contiendra exactement 78 survivantes.

Pour étudier la rupture de pièces comparables, on relève leurs durées jusqu’à la défaillance, puis on ajuste les paramètres η et β. La loi de Weibull est utile lorsque la fréquence des ruptures peut évoluer avec l’âge des pièces.

Pour estimer une durée de vie, on choisit un seuil de survie et on lit l’instant correspondant dans le modèle. Si le taux de défaillance doit rester constant, le cas β = 1 ramène à la loi exponentielle, plus simple.

Pour comparer deux séries mesurées dans la même unité, on examine séparément l’échelle et la forme. Une valeur de η plus grande décale les durées, tandis que β modifie la manière dont les ruptures se concentrent au fil du temps.

Waloddi Weibull et la loi de Weibull. Le premier est l’ingénieur et mathématicien suédois ; la seconde est le modèle probabiliste qu’il présente en 1939. Une date de naissance décrit la personne, tandis que des paramètres η et β décrivent une distribution.

Loi de Weibull et loi exponentielle. Elles coïncident seulement lorsque β = 1. Si les défaillances deviennent plus fréquentes avec l’âge, une loi de Weibull avec β > 1 traduit cette évolution, contrairement au taux constant du modèle exponentiel.

Un ajustement n’est pas une certitude individuelle. Une survie de 77,9 % à 500 heures décrit une proportion attendue. Si un lot réel donne un autre compte, il faut quantifier l’incertitude d’échantillonnage au lieu de déclarer le modèle faux sur cette seule différence.

Le cas β = 1 est charnière. En dessous de 1, le taux de défaillance décroît ; au-dessus de 1, il croît. Près de 1, une estimation imprécise ne suffit donc pas à conclure nettement à l’un de ces deux régimes.

Des durées interrompues demandent un traitement adapté. Si l’observation s’arrête alors que certaines pièces fonctionnent encore, leur durée exacte est inconnue. Il faut les conserver comme données censurées, et non les compter comme des ruptures à la date d’arrêt.

Les conventions de paramétrage varient. Deux formules peuvent employer des symboles différents ou remplacer l’échelle par son inverse. Avant de comparer des valeurs numériques, il faut vérifier la formule, l’unité de temps et la signification attribuée à chaque paramètre.

La fonction de répartition donne la probabilité qu’une durée ne dépasse pas un seuil ; elle complète directement la fonction de survie utilisée ici.

La fiche sur la variable aléatoire précise l’objet mathématique auquel une durée de vie mesurée est associée.

La loi exponentielle approfondit le cas particulier β = 1, dans lequel le taux instantané de défaillance reste constant.