Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire

loi exponentielle

La loi exponentielle de paramètre

\lambda>0

est une loi de probabilité continue dont la densité est

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

pour

x\geq 0

. Son espérance est

1/\lambda

et sa variance est

1/\lambda^2

. Elle est caractérisée par la propriété d'absence de mémoire (ou sans vieillissement) : pour tous

s,t\geq 0

P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)

. Cette propriété signifie que, dans le modèle exponentiel, la durée de vie résiduelle d'un composant ne dépend pas de sa durée de fonctionnement passée : il n'y a pas de vieillissement probabiliste dans ce modèle. Réciproquement, parmi les lois de probabilité continues non dégénérées à valeurs dans [0,+∞), la loi exponentielle est l'unique loi à vérifier cette égalité pour tous

s,t\geq 0

tels que

P (X > t) > 0

. Elle modélise naturellement les durées entre deux événements dans un processus de Poisson homogène, ainsi que les durées de vie des composants électroniques en régime de fonctionnement stable.

Au départ comme après 3 min déjà écoulées, dépasser 5 min supplémentaires a la même probabilité : e⁻¹ ≈ 36,8 %.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Définir la densité, l’espérance et la variance de la loi exponentielle.
Calculer une probabilité conditionnelle de durée d’attente.
Interpréter l’absence de mémoire et reconnaître quand le modèle ne convient plus.

En clair

À un guichet, le prochain client peut arriver dans quelques secondes ou après plusieurs minutes. La loi exponentielle décrit ce temps d’attente lorsque les arrivées gardent le même rythme moyen. Les longues attentes deviennent progressivement moins probables.

Sa particularité est plus surprenante : après trois minutes sans arrivée, la chance d’attendre encore cinq minutes est la même qu’au tout début. Le temps déjà écoulé ne renseigne pas sur le temps restant. C’est l’absence de mémoire.

Définition

La loi exponentielle est une loi de probabilité continue pour une durée ou une autre grandeur non négative. On note X la durée aléatoire et λ son paramètre strictement positif, exprimé dans l’unité inverse de celle de X. Pour toute valeur x supérieure ou égale à zéro, sa densité est

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

; pour x strictement négatif,

f (x) = 0

. La durée moyenne, ou espérance, vaut

\mathbb{E}(X)=1/\lambda

, et la variance vaut

\operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2

Pour deux durées s et t non négatives, savoir que X a déjà dépassé t ne modifie pas la loi du temps restant. Cette absence de mémoire, aussi appelée propriété sans vieillissement, caractérise la loi exponentielle parmi les lois continues non dégénérées à valeurs dans [0,+∞), lorsque les probabilités conditionnelles sont définies. Elle convient aux intervalles entre événements d’un processus de Poisson homogène et aux durées de vie de composants électroniques pendant un régime de fonctionnement stable.

Le principe

Soit X une durée qui suit une loi exponentielle de paramètre λ strictement positif. Pour tout temps x non négatif, la probabilité que la durée dépasse x est

P(X>x)=e^{-\lambda x}

Ainsi, pour deux durées s et t non négatives :

P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)

. Après une attente de t, la probabilité d’attendre au-delà de s unités supplémentaires repart donc comme au temps initial.

Quand l'utiliser

Le modèle porte sur une durée continue et non négative. Son paramètre λ doit être strictement positif et rester constant pendant la période étudiée. Dans un processus de Poisson, cela correspond à un rythme d’événements homogène ; pour un composant électronique, à un régime stable où le fonctionnement passé ne change pas la durée résiduelle.

On vérifie donc que la grandeur est une durée, que le rythme ne varie pas et que l’absence de mémoire est crédible. Si un composant s’use et tombe plus souvent en panne avec l’âge, le symptôme est un risque qui dépend du temps déjà écoulé. La loi exponentielle est alors inadaptée ; il faut choisir un modèle dont le risque varie avec l’âge.

Un exemple, pas à pas

Un guichet reçoit des clients selon un processus de Poisson homogène. On étudie la durée X avant la prochaine arrivée. Données : le paramètre vaut λ = 0,2 min⁻¹, aucune arrivée n’a eu lieu pendant t = 3 min et l’on cherche la probabilité d’attendre encore s = 5 min.

1. La durée totale à dépasser est 3 + 5 = 8 min.
2. La probabilité de dépasser 8 min vaut

P(X>8)=e^{-0{,}2\times 8}=e^{-1{,}6}

.
3. La probabilité d’avoir déjà dépassé 3 min vaut

P(X>3)=e^{-0{,}2\times 3}=e^{-0{,}6}

.
4. La probabilité conditionnelle est

e^{-1{,}6}/e^{-0{,}6}=e^{-1}\approx 0{,}368

La probabilité d’attendre encore plus de 5 min est donc d’environ 36,8 %, sans unité. Le contrôle consiste à repartir de zéro :

P(X>5)=e^{-0{,}2\times 5}=e^{-1}

, ce qui donne exactement la même valeur. Les deux courbes de survie identiques rendent visible cette remise à zéro du temps d’attente.

En pratique

Pour des arrivées à rythme constant, on utilise la loi exponentielle pour calculer le temps entre deux événements. Si le rythme change selon l’heure, on préfère un modèle qui tient compte de cette variation observable.

En fiabilité, elle modélise la durée de vie d’un composant électronique pendant une phase stable. On estime λ à partir du rythme des pannes, puis 1/λ donne la durée moyenne. Une hausse des pannes avec l’âge signale qu’un autre modèle est nécessaire.

Pour une attente déjà commencée, la propriété sans mémoire permet de recalculer directement à partir de la durée supplémentaire. Il est inutile d’ajouter le temps écoulé lorsque le modèle exponentiel et ses hypothèses restent valides.

À ne pas confondre

Loi exponentielle et loi de Poisson. La première décrit une durée continue entre deux événements ; la seconde décrit un nombre entier d’événements pendant un intervalle. Sous les hypothèses appropriées, une attente, par exemple 5 min, peut être modélisée par une loi exponentielle, tandis qu’un nombre d’arrivées en une heure, par exemple 4, peut être modélisé par une loi de Poisson.

Loi exponentielle et fonction exponentielle. La fonction x ↦ e^x est un outil de calcul. La loi exponentielle est un modèle probabiliste complet, défini ici sur les valeurs non négatives avec une densité, une espérance et une variance.

Limites et pièges

Paramètre nul ou négatif. La condition λ > 0 est indispensable. À λ = 0, l’expression λe^−λx ne définit plus une densité de probabilité et la moyenne 1/λ n’existe pas. Il faut vérifier le paramètre avant tout calcul.

Valeur exacte d’une durée. Comme la loi est continue, une durée isolée a une probabilité nulle. Demander la probabilité que X vaille exactement 5 min n’équivaut pas à demander que X dépasse 5 min. Il faut formuler un intervalle ou une inégalité.

Vieillissement réel. L’absence de mémoire n’affirme pas que tous les objets physiques cessent de vieillir. Elle décrit seulement le modèle exponentiel. Si le risque de panne dépend de l’âge constaté, il faut abandonner le paramètre constant et employer un modèle adapté à ce risque variable.

Pour aller plus loin

Loi de Poisson. Reliez le nombre d’événements sur un intervalle aux durées exponentielles qui les séparent.

Densité de probabilité. Interprétez la fonction λe^−λx et son rôle pour une variable continue.

Espérance mathématique. Situez la durée moyenne 1/λ parmi les valeurs possibles.

Variance d'une variable aléatoire. Mesurez la dispersion des durées autour de leur moyenne.

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