Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
variance d'une variable aléatoire
En théorie des probabilités, la variance d'une variable aléatoire X est un paramètre de dispersion qui mesure l'écartement moyen des valeurs prises par X autour de son espérance mathématique E(X). Elle est définie comme le moment centré d'ordre 2 et se calcule par : V(X) = E[(X − E(X))²]. Par développement, on obtient la formule équivalente dite de Koenig-Huygens : V(X) = E(X²) − (E(X))². La variance est toujours positive ou nulle ; elle est nulle si et seulement si X est constante presque sûrement. La racine carrée de la variance est l'écart type σ, qui s'exprime dans la même unité que la variable et est plus facilement interprétable en pratique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la variance à l’espérance et aux écarts carrés.
- Calculer une variance discrète pas à pas et contrôler le résultat par Koenig-Huygens.
- Distinguer variance, espérance et écart type grâce à leur rôle et à leur unité.
- Reconnaître le cas de variance nulle et la condition d’existence d’une variance finie.
En clair
Imaginez un jeu qui rapporte 0, 2 ou 4 points. Savoir que son gain moyen vaut 2 points ne dit pas si les résultats tombent presque toujours près de 2 ou s’en éloignent souvent. La variance décrit cette dispersion autour du gain moyen.
Pour la calculer, on regarde l’écart entre chaque résultat et la moyenne, puis on élève cet écart au carré. Les écarts négatifs ne compensent donc pas les positifs, et les résultats éloignés pèsent davantage. Une variance petite indique des valeurs regroupées ; une variance grande signale des valeurs plus étalées.
Définition
Une variable aléatoire réelle, notée X, associe une valeur numérique à chaque issue. Son espérance mathématique, notée E(X), est sa moyenne pondérée par les probabilités. Lorsque le carré X2 possède une espérance finie, la variance, notée V(X), est le moment centré d’ordre 2 : elle fait la moyenne des carrés des écarts de X à E(X).
La définition s’écrit . En développant le carré puis en utilisant la linéarité de l’espérance, on obtient la formule de Koenig-Huygens : . Cette seconde forme est souvent plus rapide pour un calcul, à condition que les espérances concernées soient finies.
Un carré étant positif ou nul, V(X) est toujours positive ou nulle. Elle vaut 0 exactement lorsque X est constante avec probabilité 1. La variance s’exprime dans le carré de l’unité de X. Sa racine carrée est l’écart type, noté σ ; il retrouve l’unité de X et se lit donc plus directement sur l’échelle des valeurs.
Un exemple, pas à pas
Un jeu attribue un gain aléatoire X. Les données sont : 0 point avec une probabilité de 1/4, 2 points avec une probabilité de 1/2 et 4 points avec une probabilité de 1/4. Ces trois probabilités totalisent 1.
Étape 1. Calculez l’espérance, c’est-à-dire le gain moyen pondéré : . Le centre de la distribution est donc 2 points.
Étape 2. Soustrayez cette espérance aux trois gains. Les écarts sont −2, 0 et 2 points ; leurs carrés valent respectivement 4, 0 et 4 points carrés.
Étape 3. Pondérez les carrés par les probabilités : . La variance vaut 2 points².
Étape 4. L’écart type vaut point. Il remet la dispersion dans l’unité du gain.
Le contrôle par Koenig-Huygens donne E(X2) = 6, puis 6 − 2² = 2. La représentation des trois issues permet aussi de vérifier la symétrie des écarts autour de 2 points.
En pratique
Pour comparer deux jeux ayant le même gain moyen, calculez leur variance : le jeu de plus faible variance présente une moyenne des écarts au carré plus faible autour de cette moyenne. Si les espérances diffèrent, comparez d’abord les deux moyennes, puis leur dispersion ; la variance seule ne classe pas l’intérêt des jeux.
Pour annoncer un ordre de grandeur compréhensible, préférez l’écart type, car il conserve l’unité de la variable. Gardez la variance pour les calculs algébriques, puis prenez sa racine carrée au moment d’interpréter le résultat.
Lorsque quelques valeurs possibles sont très éloignées du centre, examinez aussi la distribution et leurs probabilités. La mise au carré donne beaucoup de poids à ces écarts ; une variance élevée ne précise pas, à elle seule, de quel côté se trouvent les valeurs extrêmes.
À ne pas confondre
Espérance et variance. L’espérance situe le centre moyen ; la variance mesure l’étalement autour de ce centre. Dans le jeu étudié, l’espérance vaut 2 points tandis que la variance vaut 2 points² : l’égalité des nombres ne leur donne ni le même rôle ni la même unité.
Variance et écart type. L’écart type est la racine carrée de la variance. Ici, la variance est 2 points² et l’écart type est environ 1,41 point. Le critère immédiat est l’unité : seule la seconde grandeur s’exprime comme X.
Limites et pièges
Moment d’ordre 2 non fini. La formule suppose que E(X2) est finie. Si ce n’est pas le cas, X n’a pas de variance finie ; il ne faut pas appliquer Koenig-Huygens comme une soustraction ordinaire entre quantités infinies.
Seuil zéro. Une variance égale à 0 n’est ni une erreur ni une absence d’information. Elle signifie que X prend une même valeur avec probabilité 1. Réciproquement, dès qu’au moins deux valeurs distinctes ont chacune une probabilité strictement positive, la variance est strictement positive.
Même variance, distributions différentes. Une valeur unique ne décrit ni la forme ni le côté de l’étalement. Deux variables peuvent partager espérance et variance tout en attribuant des probabilités différentes à leurs valeurs ; il faut alors examiner la distribution complète.
Pour aller plus loin
espérance mathématique — Revoir la moyenne pondérée qui sert de centre au calcul de la variance.
écart-type — Relier la variance à une mesure de dispersion exprimée dans l’unité de X.
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