Cantelli (inégalité de)

Imaginons une grandeur dont la moyenne vaut 100 et dont les valeurs s’écartent modérément de ce centre. On voudrait savoir si elle peut atteindre 130 ou davantage, sans connaître toute sa loi de probabilité. L’inégalité de Cantelli transforme deux informations, la moyenne et la variance, en une limite supérieure pour ce risque.

Elle regarde un seul côté de la distribution. Ici, elle ne mesure que les dépassements au-dessus de 100. Cette attention portée à une seule queue explique pourquoi sa borne peut être plus serrée qu’une estimation qui surveille simultanément les écarts vers le haut et vers le bas.

L’inégalité de Cantelli est une borne de probabilité unilatérale. Elle s’applique à une variable aléatoire réelle X dont l’espérance, notée μ, et la variance finie, notée σ², sont connues. Pour un écart positif t, elle majore la probabilité que X dépasse son espérance d’au moins t :

Le membre de droite dépend seulement de la dispersion et de la distance au seuil, pas de la forme complète de la distribution. La même idée borne la queue inférieure en appliquant le résultat à la variable opposée : la probabilité que X soit au moins t sous son espérance possède la même majoration. Pour une seule direction, le dénominateur σ² + t² fournit une borne au plus égale à σ²/t², issue de Bienaymé–Chebyshev, et strictement plus petite lorsque σ² > 0.

Soit une variable aléatoire réelle X d’espérance μ et de variance finie σ². Si t est strictement positif, alors : $\mathbb{P}(X-\mu \ge t)\le \frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+t^2}\backslash mathbb\{P\}(X-\backslash mu\; \backslash ge\; t)\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{\backslash sigma^2+t^2\}$. Autrement dit, la formule donne une borne supérieure, et non la probabilité exacte, du dépassement du seuil μ + t.

La variable doit être réelle et posséder une espérance ainsi qu’une variance finie. Il faut connaître ces deux valeurs et choisir un écart t strictement positif. Le seuil étudié est alors μ + t, et le résultat porte uniquement sur la queue supérieure. Aucune hypothèse de symétrie ni connaissance de la loi complète n’est nécessaire.

Si la variance est infinie ou inconnue, le membre de droite ne fournit pas de borne exploitable : il faut alors utiliser une information disponible d’une autre nature ou un modèle de loi justifié. Si l’on veut contrôler les écarts dans les deux directions à la fois, l’événement pertinent devient |X − μ| ≥ t et l’inégalité de Bienaymé–Chebyshev est l’outil adapté.

Une variable aléatoire X a pour espérance 100 et pour variance 225. On cherche une borne pour la probabilité que X atteigne au moins 130, sans supposer de loi particulière.

Données.
Espérance : μ = 100.
Variance : σ² = 225.
Seuil : 130, donc l’écart vaut t = 130 − 100 = 30.

1. Le seuil est bien situé au-dessus de l’espérance, car t = 30 > 0.
2. On remplace la variance et l’écart dans la borne de Cantelli.
3. On simplifie le quotient :

La probabilité cherchée est donc au plus 20 %. Pour contrôler le calcul, Bienaymé–Chebyshev donnerait d’abord P(|X − 100| ≥ 30) ≤ 225/900 = 25 %, donc aussi P(X ≥ 130) ≤ 25 %. La borne de Cantelli est bien la plus serrée ici. La figure synthétise les deux événements et leurs bornes, sans supposer que la probabilité réelle atteint l’une d’elles.

Pour évaluer un risque de dépassement avec seulement une moyenne et une variance, on fixe le seuil critique, on calcule son écart positif à la moyenne, puis on applique Cantelli. Le résultat reste prudent : il garantit un plafond, sans prédire la fréquence exacte.

Pour surveiller une valeur anormalement basse, on applique la même règle à −X. Si les deux côtés sont préoccupants, on préfère Bienaymé–Chebyshev, car son événement bilatéral correspond directement à la question posée.

Lorsqu’une loi de probabilité fiable est connue, son quantile ou sa fonction de répartition peut donner une réponse plus précise. Cantelli garde son intérêt lorsque cette forme détaillée manque mais que les deux premiers moments sont disponibles.

Avec l’inégalité de Bienaymé–Chebyshev. Celle-ci borne l’événement bilatéral |X − μ| ≥ t. Cantelli borne une direction précise. Dans l’exemple au seuil 130, surveiller aussi les valeurs inférieures ou égales à 70 appelle Bienaymé–Chebyshev ; ne surveiller que 130 ou davantage appelle Cantelli.

Avec l’inégalité de Markov. Markov s’applique directement à une variable aléatoire non négative et utilise son espérance. Cantelli part d’une variable réelle centrée et de sa variance. Une variable pouvant prendre des valeurs négatives ne se traite donc pas directement par Markov sans transformation appropriée.

Avec les lemmes de Borel–Cantelli. Malgré le nom commun, ces lemmes concernent la répétition d’une suite d’événements. Un problème demandant si des événements se produisent une infinité de fois n’est pas un problème de borne unilatérale fondée sur une moyenne et une variance.

Une borne n’est pas une valeur prédite. Obtenir 20 % signifie que la probabilité ne dépasse pas 20 % sous les hypothèses, non qu’elle vaut 20 %. Pour l’estimer exactement, il faut davantage d’information sur la loi de X.

Le cas t = 0 est exclu. Cantelli exige t > 0. À mesure que t se rapproche de zéro avec une variance positive, la borne se rapproche de 1 et devient peu informative. Il faut choisir un seuil strictement distinct de l’espérance.

Une variance nulle rend la situation déterministe. Si σ² = 0, la variable vaut son espérance avec probabilité 1. Pour tout t > 0, la probabilité d’atteindre μ + t est donc nulle, conformément à la borne.

La borne est optimale avec les seules moyenne et variance. Pour l’exemple, une variable valant 130 avec probabilité 0,2 et 92,5 avec probabilité 0,8 a bien une moyenne de 100, une variance de 225 et une probabilité de 20 % d’atteindre 130. Une amélioration universelle exigerait donc des hypothèses supplémentaires.

Variable aléatoire — Revoir l’objet auquel s’appliquent l’espérance, la variance et la borne de Cantelli.

Espérance mathématique — Approfondir le centre autour duquel le dépassement unilatéral est mesuré.

Variance d’une variable aléatoire — Relier le paramètre de dispersion à la force de la majoration obtenue.

Écart-type — Lire la racine de la variance dans la même unité que la variable étudiée.