Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Paley-Zygmund (inégalité de)
L'inégalité de Paley-Zygmund est un résultat de théorie des probabilités qui donne une borne inférieure sur la probabilité qu'une variable aléatoire positive dépasse une fraction de son espérance. Plus précisément, si X est une variable aléatoire non négative, de carré intégrable et qui n'est pas presque sûrement nulle, alors pour tout t dans l'intervalle zéro-un, la probabilité que X dépasse t fois son espérance est minorée par le carré de (1-t) fois le carré de l'espérance de X, divisé par l'espérance du carré de X, E[X²], distincte du carré de l'espérance E[X]². Cette inégalité est le pendant de Markov pour les minorantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de non-négativité et de second moment fini.
- Distinguer le carré de l’espérance de l’espérance du carré.
- Calculer la borne pour deux lancers de pièce et la comparer à la probabilité exacte.
- Reconnaître les cas où la borne est nulle, indéfinie ou peu serrée.
En clair
On lance deux fois une pièce équilibrée et l’on compte les faces obtenues. Le nombre moyen de faces vaut 1, mais cette moyenne ne dit pas à quelle fréquence le compte sera vraiment positif. L’inégalité de Paley-Zygmund répond par le bas : elle garantit une probabilité minimale de dépasser une fraction choisie de cette moyenne.
La garantie compare deux informations : la moyenne et le moment du second ordre, qui augmente lorsque les valeurs sont dispersées. À moyenne égale, une forte dispersion affaiblit donc la borne.
Définition
L’inégalité de Paley-Zygmund porte sur une variable aléatoire X à valeurs positives ou nulles. Elle suppose que son carré possède une espérance finie. On choisit un nombre t compris entre 0 et 1 : le seuil étudié est alors la fraction t de l’espérance de X.
La probabilité que X dépasse ce seuil reçoit une borne inférieure calculée avec le premier et le deuxième moment :
Le numérateur contient le carré de l’espérance, tandis que le dénominateur est l’espérance du carré. Cette distinction est essentielle. Si X n’est pas presque sûrement nulle, le dénominateur est positif et le quotient est défini. La borne renseigne sur une probabilité de dépassement sans exiger la loi complète de X ; elle peut toutefois être bien plus petite que la probabilité réelle.
Le principe
Soit X une variable aléatoire positive ou nulle, non presque sûrement nulle, dont le carré est intégrable. Pour tout réel t tel que 0 ≤ t ≤ 1, on a :
Le membre de gauche est la probabilité recherchée. Le membre de droite est la garantie fournie par les deux premiers moments de X.
Quand l'utiliser
La variable X doit être positive ou nulle. Son moment du second ordre, c’est-à-dire l’espérance de X2, doit être fini. Enfin, pour obtenir un quotient défini, X ne doit pas être presque sûrement nulle. Le paramètre t se choisit entre 0 et 1 ; il fixe la fraction de la moyenne que X doit dépasser.
Si X peut prendre des valeurs négatives, l’énoncé ne s’applique pas directement : il faut construire une variable non négative pertinente, par exemple un carré, ou employer une autre inégalité adaptée. Si X vaut toujours 0, les deux moments sont nuls et le quotient 0/0 n’a pas de sens ; la probabilité de dépasser le seuil nul se calcule alors directement et vaut 0.
Un exemple, pas à pas
On lance deux fois une pièce équilibrée. La variable X compte le nombre de faces : elle vaut 0 avec probabilité 1/4, 1 avec probabilité 1/2 et 2 avec probabilité 1/4. On choisit t = 1/2, afin d’étudier le dépassement de la moitié de la moyenne.
1. L’espérance vaut E[X] = 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 2 × 1/4 = 1.
2. Le second moment vaut E[X2] = 02 × 1/4 + 12 × 1/2 + 22 × 1/4 = 3/2.
3. Le seuil vaut tE[X] = 1/2.
4. La borne de Paley-Zygmund vaut (1 − 1/2)2 × 12 ÷ (3/2) = 1/6.
5. Ainsi, P(X > 1/2) ≥ 1/6.
2. Le second moment vaut E[X2] = 02 × 1/4 + 12 × 1/2 + 22 × 1/4 = 3/2.
3. Le seuil vaut tE[X] = 1/2.
4. La borne de Paley-Zygmund vaut (1 − 1/2)2 × 12 ÷ (3/2) = 1/6.
5. Ainsi, P(X > 1/2) ≥ 1/6.
Le contrôle utilise ici la loi complète : X dépasse 1/2 lorsqu’il y a une ou deux faces, donc la probabilité réelle vaut 1/2 + 1/4 = 3/4. Elle est bien supérieure à 1/6. La garantie est correcte, sans prétendre donner la valeur exacte.
En pratique
Lorsque la loi complète de X est inconnue mais que ses deux premiers moments sont contrôlés, on choisit une fraction t de la moyenne et l’on calcule la borne. Dans l’exemple, cette démarche garantit au moins 1/6 pour le seuil 1/2, même sans additionner les probabilités des trois valeurs possibles.
Pour garantir seulement que X est strictement positive, on prend t = 0. Si l’objectif est plutôt de borner la probabilité d’une valeur trop grande par le haut, l’inégalité de Markov répond au bon sens de l’événement et constitue l’alternative naturelle.
Le choix de t règle le compromis. Un seuil plus proche de la moyenne vise un événement plus exigeant, mais le facteur (1 − t)2 réduit la garantie.
À ne pas confondre
Inégalité de Markov. Markov donne une borne supérieure pour la probabilité qu’une variable positive dépasse un seuil. Paley-Zygmund donne une borne inférieure pour le dépassement d’une fraction de la moyenne. Dans l’exemple, Markov encadrerait un excès ; Paley-Zygmund garantit au contraire que X > 1/2 arrive avec une probabilité non négligeable.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Celle-ci borne la probabilité d’un écart à la moyenne à partir de la variance et s’applique aussi à des variables signées. Paley-Zygmund exige la non-négativité et vise un dépassement unilatéral d’une fraction de l’espérance.
Limites et pièges
Deux carrés différents. Remplacer E[X2] par E[X]2 ferait disparaître l’effet de la dispersion. Dans l’exemple, ces quantités valent respectivement 3/2 et 1. Il faut calculer le carré avant l’espérance au dénominateur.
Variable nulle. Si X = 0 presque sûrement, le quotient des moments prend la forme indéfinie 0/0. Il ne faut pas annoncer une borne par la formule : on traite directement l’événement X > 0, de probabilité nulle.
Extrémité t = 1. Le facteur (1 − t)2 vaut alors 0. L’inégalité reste vraie, mais ne donne aucune garantie positive sur le dépassement de la moyenne. Il faut choisir t < 1 pour espérer une minoration informative.
Borne prise pour une valeur exacte. La formule minore la probabilité, elle ne la calcule pas. Pour les deux lancers, la borne est 1/6 tandis que la probabilité réelle est 3/4. Si la loi est connue, le calcul direct fournit la valeur exacte.
Pour aller plus loin
Le quotient E[X]2/E[X2] mesure la part du second moment déjà expliquée par la moyenne. Comme E[X2] = Var(X) + E[X]2, une variance élevée à moyenne fixée réduit mécaniquement la garantie de Paley-Zygmund.
Dans les méthodes du second moment, on applique souvent l’inégalité à une variable de comptage. Le choix t = 0 transforme alors l’information sur les deux premiers moments en une minoration de la probabilité que le comptage soit non nul.
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