Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Convergence en probabilité
Une suite de variables aléatoires (X_n) converge en probabilité vers une variable X si, pour tout epsilon positif, la probabilité que la distance entre X_n et X dépasse epsilon tend vers zéro quand n tend vers l'infini. C'est une convergence plus faible que la convergence presque sûre : la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité, mais la réciproque est fausse en général. La loi faible des grands nombres affirme la convergence en probabilité de la moyenne empirique vers l'espérance.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le critère avec une tolérance fixée et une probabilité de dépassement.
- Vérifier une convergence sur une moyenne de lancers grâce à une borne calculée.
- Distinguer convergence en probabilité, convergence presque sûre et convergence en loi.
- Repérer ce que ce mode de convergence ne garantit pas sur les espérances.
En clair
Lancez plusieurs fois une pièce équilibrée et notez la proportion de piles. Avec peu de lancers, cette proportion peut s'écarter nettement de 1/2. Quand le nombre de lancers augmente, un écart fixé, par exemple 0,1, devient de moins en moins probable.
La convergence en probabilité décrit ce resserrement. Elle n'affirme pas que chaque nouvelle proportion se rapproche sans jamais repartir. Elle dit que la chance d'observer un écart supérieur à la tolérance choisie finit par devenir aussi petite qu'on le souhaite.
Définition
Soit une suite de variables aléatoires et une variable aléatoire , définies sur un même espace probabilisé. La suite converge en probabilité vers lorsque, pour toute tolérance réelle strictement positive , la probabilité que l'écart dépasse cette tolérance tend vers zéro.
La tolérance est fixée avant de laisser croître l'indice. La convergence presque sûre entraîne toujours la convergence en probabilité, mais l'implication inverse est fausse en général. La loi faible des grands nombres applique ce critère à la moyenne empirique d'observations indépendantes de même loi, sous des hypothèses assurant l'existence de l'espérance : cette moyenne converge en probabilité vers l'espérance commune.
Un exemple, pas à pas
On effectue des lancers indépendants d'une pièce équilibrée.
Données : chaque résultat vaut 1 pour pile et 0 pour face ; la moyenne après lancers est notée ; son espérance vaut 1/2 ; la tolérance choisie vaut 0,1.
Données : chaque résultat vaut 1 pour pile et 0 pour face ; la moyenne après lancers est notée ; son espérance vaut 1/2 ; la tolérance choisie vaut 0,1.
1. La variance d'un lancer vaut 1/4. L'indépendance donne donc à la moyenne la variance .
2. Pour 100 lancers, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit . La probabilité d'un écart supérieur à 0,1 est donc au plus 25 %.
3. Pour 1 000 lancers, le même calcul donne une borne de , soit 2,5 %.
Le contrôle est refaisable : multiplier le nombre de lancers par 10 divise ici la borne par 10. La comparaison visuelle des deux bornes montre ce resserrement ; ces pourcentages sont des majorations, pas les probabilités exactes.
En pratique
Pour estimer la probabilité d'obtenir pile, on observe la fréquence après un nombre croissant de lancers. La convergence en probabilité justifie que le risque d'un écart fixé autour de 1/2 diminue. Si l'on doit contrôler toute une trajectoire presque sûrement, ce mode de convergence ne suffit pas.
En statistique, un estimateur est dit convergent lorsqu'il converge en probabilité vers le paramètre visé. On choisit ce critère quand l'objectif porte sur la probabilité d'une erreur supérieure à une tolérance ; une garantie sur l'erreur moyenne exige un contrôle supplémentaire.
Pour établir la convergence, on fixe d'abord une tolérance positive, puis on majore la probabilité de dépassement. Une borne qui tend vers zéro conclut. Dans l'exemple de la pièce, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev transforme le calcul de variance en une telle borne.
À ne pas confondre
Deux modes de convergence voisins répondent à des questions différentes. Le critère qui les sépare porte soit sur les trajectoires, soit seulement sur les lois.
Convergence presque sûre
Elle exige que, sauf sur un événement de probabilité nulle, la suite numérique converge. C'est plus fort. Si des événements indépendants ont pour probabilités 1/n et si , alors converge en probabilité vers 0, mais vaut presque sûrement 1 et 0 une infinité de fois.
Convergence en loi
Elle compare les distributions, sans imposer que les variables soient proches sur les mêmes issues. La convergence en probabilité implique la convergence en loi. Réciproquement, si suit la loi uniforme sur [−1, 1] et , toutes les lois coïncident, mais pour tout indice.
Limites et pièges
Le critère demande une lecture attentive de la tolérance, de la probabilité et de ce que la convergence ne contrôle pas.
Une tolérance fixée
La tolérance positive doit rester fixe pendant le passage à la limite. Remplacer 0,1 par une suite de tolérances qui se resserre avec l'indice change la question et peut empêcher la probabilité de tendre vers zéro. Il faut revenir au quantificateur : chaque valeur positive est étudiée séparément.
Proximité ne signifie pas égalité
Il n'est pas nécessaire que tende vers 1. Avec , les deux variables ne sont jamais égales, mais leur écart devient inférieur à toute tolérance fixée. Le bon test porte sur .
Pas de contrôle automatique de l'espérance
La convergence en probabilité n'entraîne pas, à elle seule, la convergence des espérances. Si avec probabilité 1/n et vaut 0 sinon, alors , tandis que son espérance reste égale à 1. Il faut ajouter une hypothèse adaptée, telle qu'une domination intégrable ou l'uniforme intégrabilité.
Une majoration n'est pas une valeur exacte
Dans l'exemple, 25 % pour 100 lancers et 2,5 % pour 1 000 lancers sont des plafonds fournis par Bienaymé-Tchebychev. Le signe ≤ interdit de les lire comme les fréquences exactes du dépassement. Pour une valeur exacte, il faudrait calculer les probabilités binomiales correspondantes.
Pour aller plus loin
La convergence en probabilité prend sa place dans une hiérarchie de modes de convergence et s'appuie sur le langage des variables aléatoires.
La fiche convergence presque sûre précise le mode plus fort qui contrôle presque toutes les trajectoires.
La fiche convergence en loi présente le mode plus faible centré sur les distributions.
La fiche variable aléatoire revient sur l'objet auquel s'appliquent ces différents modes de convergence.
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