Loi du logarithme itéré

Imaginez une pièce équilibrée : chaque pile fait avancer un compteur de 1 et chaque face le fait reculer de 1. Après beaucoup de lancers, le compteur s'éloigne parfois de zéro, mais ses excursions extrêmes suivent une échelle très précise.

La loi du logarithme itéré décrit cette enveloppe ultime. Elle ne prédit pas la position du compteur à un instant donné. Elle affirme que, sur une trajectoire presque sûre, ses pics reviennent arbitrairement près de l'enveloppe, sans la dépasser durablement.

On considère une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Leur espérance commune est notée μ et leur variance commune, finie et strictement positive, est notée σ². Pour chaque entier n, la somme partielle centrée T_n additionne les n premiers écarts X_k − μ.

La loi du logarithme itéré de Kolmogorov affirme que, presque sûrement, les deux limites extrêmes valent :Autrement dit, la trajectoire normalisée approche 1 et −1 le long de certaines sous-suites. Pour tout ε > 0, elle ne dépasse 1 + ε et ne descend sous −1 − ε qu'un nombre fini de fois ; la seule conclusion sur les niveaux exacts 1 et −1 n'exclut pas des franchissements répétés.

Si l'on emploie la somme non centrée S_n = X₁ + ⋯ + X_n, il faut donc remplacer T_n par S_n − nμ. Lorsque μ = 0, les deux sommes coïncident. Le premier logarithme est naturel, et la formule ne concerne que les entiers assez grands pour que ln(ln n) soit positif.

Si les variables X₁, X₂, … sont indépendantes, identiquement distribuées, d'espérance μ et de variance σ² finie avec σ > 0, alors leur somme centrée T_n vérifie presque sûrement :La limite inférieure correspondante vaut −σ. Le dénominateur donne l'échelle des fluctuations extrêmes ; il ne donne ni une convergence ordinaire de la suite normalisée, ni sa valeur pour un n fixé.

La version présentée ici s'applique à des variables réelles indépendantes et identiquement distribuées. Leur moyenne doit exister, et leur variance doit être finie et non nulle. Il faut centrer les sommes lorsque la moyenne n'est pas nulle. La conclusion porte sur une probabilité égale à 1 et sur le comportement quand n tend vers l'infini.

Une suite de variables fortement dépendantes ne remplit pas ces hypothèses : la normalisation peut alors être différente, voire ne fournir aucune enveloppe de ce type. De même, une loi à variance infinie sort de cet énoncé. Dans ces cas, il faut rechercher un théorème adapté à la dépendance ou aux queues lourdes.

Une pièce équilibrée fournit les variables X_k : +1 pour pile et −1 pour face. Elles ont pour moyenne 0, variance 1 et écart type 1. Les seize résultats observés sont : +1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, +1, +1, −1, +1.

1. Additionnez successivement les valeurs. Les sommes partielles sont 1, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 3 et 4 ; ainsi S₁₆ = 4.

2. Calculez l'enveloppe positive au rang 16 :

3. Normalisez la somme observée : 4 / 5,7125 ≈ 0,7002. Cette valeur finie n'a pas à être égale à 1.

4. Contrôlez le calcul en comptant dix valeurs +1 et six valeurs −1 : 10 − 6 = 4. Le tracé des sommes jusqu'au rang 16 montre seulement une trajectoire courte ; la loi concerne ses excursions sur une durée illimitée.

Pour simuler une marche aléatoire, on trace la somme cumulée et les deux enveloppes. Si l'objectif est d'observer les excursions extrêmes d'une trajectoire très longue, cette comparaison est plus informative qu'un histogramme pris à un seul instant.

Pour estimer la distribution de S_n à un rang fixé sur de nombreuses répétitions, le théorème central limite est l'outil naturel. La loi du logarithme itéré devient pertinente quand on suit les records successifs d'une même trajectoire.

Avant d'appliquer la formule à des données, on examine l'indépendance, la stabilité de la loi et la variance. Si ces propriétés sont douteuses, un modèle tenant compte de la dépendance ou des queues lourdes doit remplacer l'énoncé i.i.d.

Théorème central limite. Il décrit la loi de la somme centrée et normalisée (S_n − nμ)/(σ√n) à un grand rang fixé. La loi du logarithme itéré suit presque sûrement les pics d'une trajectoire entière, avec le facteur supplémentaire √(2 ln(ln n)). Une question sur une distribution à l'instant n appelle le premier ; une question sur les excursions récurrentes appelle la seconde.

Loi forte des grands nombres. Elle affirme que S_n/n tend presque sûrement vers la moyenne. Elle donne une tendance moyenne, tandis que la loi du logarithme itéré quantifie les fluctuations restantes autour de nμ. Constater que S_n/n est proche de μ ne renseigne donc pas encore sur la taille optimale de ces écarts.

Convergence presque sûre ordinaire. La suite T_n/[σ√(2n ln(ln n))] ne converge pas vers 1 : sa limite supérieure vaut 1 et sa limite inférieure vaut −1. Deux sous-suites qui approchent des valeurs opposées suffisent à trancher.

Petits rangs. Pour n ≤ e, ln(ln n) n'est pas positif, donc la racine réelle de la normalisation n'est pas utilisable. La loi est asymptotique : on ne commence les calculs qu'à un entier n ≥ 3, sans attendre une bonne approximation si tôt.

Moyenne oubliée. Si μ ≠ 0, la somme S_n contient une dérive nμ, bien plus grande que l'enveloppe. Le symptôme est un rapport qui part dans une direction au lieu d'osciller ; il faut étudier S_n − nμ.

Variance nulle ou infinie. Si σ = 0, les variables sont presque sûrement constantes et la normalisation par σ est impossible. Si la variance est infinie, l'échelle indiquée n'est plus garantie. Dans les deux cas, cet énoncé ne doit pas être appliqué.

Lecture de la borne. Une trajectoire peut franchir l'enveloppe pour certains rangs finis. Le théorème exclut seulement, presque sûrement, des dépassements d'un facteur 1 + ε à une infinité de rangs, pour tout ε > 0 ; il ne fournit pas une barrière absolue valable dès le premier calcul.

Le théorème central limite permet de comparer la distribution à un rang fixé avec le comportement presque sûr d'une trajectoire entière.

La convergence presque sûre précise le sens probabiliste de l'affirmation trajectoire par trajectoire employée dans l'énoncé.

L'écart-type explique le facteur σ qui adapte l'enveloppe à l'amplitude des variables additionnées.