Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
théorème central limite
Pour des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance finie et de variance finie non nulle, leur somme centrée et réduite converge en loi vers la loi normale quand le nombre de termes tend vers l'infini. Le théorème central limite explique ainsi pourquoi la loi normale approxime de nombreux phénomènes issus d'une accumulation de contributions indépendantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de la forme classique du théorème.
- Construire la somme centrée et réduite.
- Interpréter une valeur normalisée sur un exemple de Bernoulli.
- Distinguer convergence asymptotique et normalité exacte à taille finie.
En clair
Imaginez que l'on répète cent fois une expérience donnant 1 en cas de succès et 0 sinon. Le total reste aléatoire, mais il se concentre autour de sa valeur moyenne. Si l'on recommence avec des nombres d'essais toujours plus grands, puis que l'on recentre et ajuste l'échelle des totaux, leur distribution prend peu à peu la forme d'une cloche.
Le théorème central limite décrit cette apparition de la loi normale. Il ne dit pas que chaque résultat individuel est normal : c'est la somme, convenablement normalisée, qui s'en approche.
Définition
Le théorème central limite est un résultat de convergence pour des sommes de variables aléatoires. Dans sa forme classique, on considère une suite de variables indépendantes et de même loi, notées X1, X2, etc. Leur espérance commune, c'est-à-dire leur valeur moyenne théorique, est notée μ. Leur variance commune est finie et strictement positive ; son écart type est noté σ.
Pour un nombre n de termes, leur somme est notée Sn et leur moyenne X̄n. La variable centrée et réduite associée est :
Lorsque n tend vers l'infini, la loi de Zn converge vers la loi normale centrée réduite. Cette convergence en loi porte sur les distributions, non sur les valeurs prises terme à terme.
On rencontre aussi les noms « théorème limite central », « théorème de la limite centrale » et « théorème de la limite centrée ». Des versions plus générales autorisent certaines variables non identiquement distribuées, mais elles demandent d'autres hypothèses ; elles ne sont pas l'énoncé classique présenté ici.
Le principe
Soit une suite de variables aléatoires X1, X2, etc., indépendantes et identiquement distribuées, d'espérance commune μ et de variance commune σ2, finie et strictement positive. Si Sn désigne la somme des n premières variables, alors :
Autrement dit, quand n tend vers l'infini, la distribution de la somme centrée et réduite s'approche de la loi normale centrée réduite.
Quand l'utiliser
Dans sa forme classique, le théorème s'applique à des variables aléatoires indépendantes, toutes régies par la même loi. Leur espérance doit exister, et leur variance doit être finie et non nulle. Ces conditions se vérifient sur le modèle probabiliste avant toute approximation.
La conclusion est asymptotique : elle décrit ce qui arrive lorsque le nombre n de termes devient grand, sans fixer de seuil universel. La rapidité de l'approximation dépend notamment de la loi de départ.
Si les observations sont fortement dépendantes, l'énoncé classique ne s'applique pas. Si leur variance est infinie, la normalisation indiquée n'est même plus disponible. Il faut alors employer un théorème adapté à la dépendance ou rechercher une autre loi limite.
Un exemple, pas à pas
Une expérience indépendante réussit avec une probabilité de 0,6. On code chaque succès par 1 et chaque échec par 0. Pour chaque essai, l'espérance vaut donc 0,6 et la variance vaut 0,6 × 0,4 = 0,24. On compare d'abord 25 essais, puis 100 essais.
1. Pour 25 essais, la moyenne observée a pour écart type .
2. Pour 100 essais, cet écart type devient .
3. Supposons que 66 succès soient observés sur 100 essais. La somme vaut 66 et la moyenne observée vaut 0,66.
4. La valeur normalisée est .
2. Pour 100 essais, cet écart type devient .
3. Supposons que 66 succès soient observés sur 100 essais. La somme vaut 66 et la moyenne observée vaut 0,66.
4. La valeur normalisée est .
Le résultat signifie que 66 succès se situent à environ 1,225 écart type au-dessus du total moyen de 60. Un contrôle direct donne . Le schéma associé montre les trois opérations nécessaires : sommer, centrer, puis réduire avant la comparaison à la loi normale.
En pratique
Pour une proportion issue de nombreux essais indépendants, le théorème remplace souvent une loi binomiale par une approximation normale. On vérifie d'abord que les effectifs attendus de succès et d'échecs ne sont pas trop faibles ; sinon, on conserve le calcul binomial exact.
Pour une moyenne d'observations indépendantes, il fournit une échelle d'incertitude en σ/√n. Cette approximation soutient de nombreux intervalles de confiance. Avec un petit échantillon et une dispersion inconnue, une méthode fondée sur la loi de Student peut être préférable.
En simulation, on additionne ou moyenne de nombreuses réalisations, puis on compare la distribution normalisée obtenue à une cloche normale. Un écart persistant invite à examiner la dépendance, les valeurs extrêmes ou la taille insuffisante de l'échantillon.
À ne pas confondre
Loi des grands nombres. Elle affirme que la moyenne d'un échantillon se rapproche de l'espérance. Le théorème central limite décrit plutôt la forme et l'échelle des fluctuations autour de cette espérance. Une moyenne proche de 0,6 illustre la première ; sa valeur normalisée et sa distribution relèvent du second.
Loi normale. C'est une famille de distributions, tandis que le théorème central limite est un résultat de convergence vers l'une d'elles après normalisation. Une variable X1 peut être binaire, donc non normale, même si la somme normalisée devient approximativement normale.
Approximation normale d'une loi binomiale. C'est une application particulière du théorème. Elle concerne une somme d'essais de Bernoulli et peut demander une correction de continuité, alors que l'énoncé du théorème couvre bien d'autres lois de départ.
Limites et pièges
« Grand » n'a pas de seuil universel. Dans l'exemple, passer de n = 25 à n = 100 divise l'écart type de la moyenne par deux, de 0,098 environ à 0,049 environ. Cela n'assure pourtant pas la même qualité d'approximation pour toutes les lois. On doit examiner la dissymétrie et les queues de la loi initiale.
La somme n'est pas exactement normale à taille finie. Avec cent essais binaires, le total ne prend que des valeurs entières de 0 à 100. Une loi normale est continue. Pour calculer une probabilité binomiale avec l'approximation normale, on peut appliquer une correction de continuité ou conserver le calcul exact.
Une variance nulle dégénère la normalisation. Si chaque variable vaut toujours 0,6, alors σ = 0 et la division par σ√n est impossible. La somme est déjà déterministe ; aucune approximation normale n'est nécessaire.
Des valeurs extrêmes peuvent changer la limite. Une loi de départ sans variance finie sort du cadre classique. Augmenter n ne suffit pas à justifier la formule usuelle ; il faut établir les hypothèses d'un résultat limite approprié.
Pour aller plus loin
Convergence en loi précise le sens de la flèche utilisée dans l'énoncé et ce qu'elle affirme sur les distributions.
Loi normale centrée réduite décrit la distribution limite, son centrage en 0 et son écart type égal à 1.
Loi de Bernoulli détaille le modèle binaire utilisé dans l'exemple des succès et des échecs.
Loi binomiale relie la somme des essais de Bernoulli au calcul exact que l'approximation normale peut remplacer.
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