Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Laplace-Gauss
Imaginez des mesures regroupées autour de 100 g : les valeurs proches du centre sont les plus fréquentes, tandis que les grands écarts se raréfient. La loi de Laplace-Gauss, ou loi normale, décrit cette cloche symétrique : la moyenne en fixe le centre et l’écart-type son étalement. La fiche montre ensuite comment lire ces paramètres et calculer la probabilité qu’une mesure se situe entre 96 g et 104 g ; les formules et les hypothèses sont détaillées dans les sections suivantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la moyenne, l’écart-type et la variance dans la notation N(m, σ²).
- Relier la densité normale à une aire représentant une probabilité d’intervalle.
- Centrer et réduire une variable normale pour calculer la probabilité entre 96 g et 104 g.
- Distinguer loi normale, loi centrée réduite, théorème central limite et loi log-normale.
- Repérer les limites d’un modèle normal face à une distribution dissymétrique, multimodale ou bornée.
En clair
Imaginez une série de mesures regroupées autour de 100 g. Les valeurs proches de 100 g sont fréquentes, tandis que les écarts importants le sont de moins en moins. Leur silhouette forme alors une cloche, haute au centre et symétrique.
La loi de Laplace-Gauss, ou loi normale, décrit précisément ce modèle. Sa moyenne place le centre de la cloche ; son écart-type règle son étalement. Elle attribue une probabilité à un intervalle de valeurs, pas à une valeur isolée.
Définition
La loi de Laplace-Gauss, autre nom de la loi normale, est une loi de probabilité continue sur l’ensemble des nombres réels. Une variable aléatoire X suit une loi normale lorsque sa densité a la forme d’une cloche symétrique. Le paramètre m désigne son espérance, donc le centre de symétrie. Le paramètre positif σ désigne son écart-type et mesure la dispersion ; sa variance vaut σ2. On écrit X ~ N(m, σ2).
Pour tout nombre réel x, la densité est . Une probabilité se lit comme l’aire sous cette courbe entre deux bornes. La symétrie implique que les valeurs inférieures et supérieures à m se répartissent de la même façon. Modifier m translate la cloche ; modifier σ change son étalement sans changer l’aire totale, égale à 1.
La variable centrée réduite Z = (X − m)/σ suit la loi normale N(0, 1), de densité . Cette transformation ramène toute loi normale à une même échelle. Le théorème central limite explique en partie pourquoi ce modèle apparaît comme référence pour des sommes de nombreuses variations indépendantes, sous ses hypothèses.
Le principe
Si X suit la loi N(m, σ2), avec σ > 0, alors la variable Z obtenue en retranchant m puis en divisant par σ suit N(0, 1) : . Pour deux réels a et b tels que a ≤ b, on calcule donc , où Φ est la fonction de répartition de N(0, 1).
Quand l'utiliser
Le calcul suppose une variable quantitative continue et deux paramètres connus ou estimés : une moyenne m et un écart-type strictement positif σ. Le modèle implique une distribution symétrique autour de m, avec une seule cloche. Une fois ces conditions retenues, la standardisation permet d’obtenir les probabilités d’intervalles à partir de N(0, 1).
Un relevé composé de deux groupes très séparés peut présenter deux bosses : une seule loi normale masque alors cette structure. Une forte dissymétrie visible bloque aussi ce choix. Il faut examiner la distribution empirique et, selon le cas, séparer les groupes ou employer un autre modèle. Le théorème central limite ne rend pas automatiquement normale chaque mesure individuelle ; il concerne une somme normalisée sous des hypothèses précises.
Un exemple, pas à pas
Données. On suppose que la masse X d’un produit suit N(100, 22), en grammes. La moyenne vaut donc m = 100 g et l’écart-type σ = 2 g. On cherche la probabilité d’obtenir une masse comprise entre 96 g et 104 g.
1. On centre et réduit la borne inférieure : (96 − 100)/2 = −2.
2. Pour la borne supérieure, (104 − 100)/2 = 2. L’intervalle 96–104 g devient donc l’intervalle −2–2 pour Z.
3. La fonction de répartition de la loi centrée réduite donne .
Résultat. Environ 95,45 % des masses appartiennent à l’intervalle demandé, dans ce modèle. La courbe associée rend visible l’aire centrale entre 96 g et 104 g.
Contrôle. Les deux bornes sont à la même distance de 100 g : 4 g, soit deux écarts-types. La zone est donc symétrique et sa probabilité vaut aussi 1 − 2 × P(Z > 2), ce qui retrouve environ 0,9545.
En pratique
Pour estimer la part de mesures située dans une plage autour d’une moyenne, on standardise les deux bornes puis on lit leur aire sous la courbe normale. Si l’histogramme est nettement dissymétrique ou comporte plusieurs bosses, une distribution empirique ou un autre modèle est préférable.
Pour comparer des observations issues de lois normales ayant des moyennes ou des unités différentes, on calcule leur score centré réduit. Le signe indique le côté de la moyenne ; la valeur absolue compte le nombre d’écarts-types. Comparer directement les valeurs brutes ne convient que si leurs échelles sont déjà comparables.
Pour approcher la distribution d’une somme de nombreuses contributions indépendantes, le théorème central limite motive souvent une loi normale après centrage et changement d’échelle. Avec peu de contributions, une forte dissymétrie ou des hypothèses non vérifiées, il faut contrôler l’approximation au lieu de l’adopter automatiquement.
À ne pas confondre
Avec la loi normale centrée réduite. N(0, 1) n’est pas une autre famille : c’est le cas particulier de moyenne 0 et d’écart-type 1. La masse X de l’exemple suit N(100, 22) ; seule la variable transformée Z = (X − 100)/2 suit N(0, 1).
Avec le théorème central limite. La loi normale est un modèle de distribution ; le théorème central limite est un résultat de convergence portant sur des sommes normalisées. Une variable déclarée normale relève directement de la première. Une somme dont on étudie le comportement quand le nombre de termes grandit relève du second.
Avec la loi log-normale. Une variable normale peut prendre toute valeur réelle et sa courbe est symétrique. Une variable log-normale est strictement positive et généralement dissymétrique ; c’est son logarithme qui suit une loi normale. Des données positives avec une longue queue à droite orientent vers la seconde, pas vers une cloche symétrique.
Limites et pièges
Règle des 95 % seulement approximative. L’intervalle m ± 2σ contient environ 95,45 % de la probabilité, et non exactement 95 %. Dans l’exemple, 96–104 g correspond précisément à ce cas. Pour un seuil imposé, il faut utiliser Φ ou un quantile plutôt qu’arrondir la règle.
Queues jamais nulles. La densité diminue très vite loin de m, mais la loi normale attribue encore une probabilité positive à tout intervalle réel de longueur strictement positive. Si une grandeur possède des bornes physiques strictes, le modèle peut donc affecter une petite probabilité à des valeurs impossibles. Il faut contrôler cette masse ou choisir une loi bornée.
Écart-type nul exclu. La formule exige σ > 0. Si toutes les valeurs valent exactement 100 g, alors σ = 0 : le facteur 1/σ et la standardisation ne sont plus définis. On a une variable constante, pas une loi normale munie d’une densité.
Cloche visuelle insuffisante. Un petit échantillon peut sembler symétrique par hasard, tandis que des valeurs extrêmes ou une dépendance entre observations changent l’analyse. Il faut examiner les données et les hypothèses du mécanisme étudié avant de conclure à une loi normale.
Pour aller plus loin
théorème central limite — Précise les hypothèses et la convergence qui expliquent le rôle de référence de la loi normale.
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