courbe en cloche

Imaginez un grand nombre de mesures regroupées sur un graphique. Les valeurs proches du centre sont les plus fréquentes : la courbe monte jusqu’à un sommet unique. Plus on s’éloigne de ce centre, plus elle redescend, de façon identique à gauche et à droite. Ce profil évoque une cloche.

Cette silhouette ne suffit toutefois pas à reconnaître une loi normale. Plusieurs lois de probabilité peuvent produire une courbe symétrique avec un seul sommet, mais répartir différemment les valeurs éloignées du centre.

Une courbe en cloche est une courbe plane unimodale, donc dotée d’un seul maximum, symétrique autour de ce sommet et décroissante de chaque côté vers zéro. L’expression décrit d’abord une forme. Elle ne détermine pas, à elle seule, une loi de probabilité particulière.

Dans le cas célèbre de la loi normale, la variable représentée est notée x, son espérance est notée μ et son écart-type positif est noté σ. Sa densité f est donnée par :

Le sommet se trouve en x = μ, et la symétrie s’organise autour de cette valeur. Le paramètre σ règle l’étalement sans changer la symétrie. La loi de Cauchy, la loi de Laplace et certaines lois de Student offrent aussi des courbes en cloche, avec d’autres densités. « En cloche » décrit donc une allure commune ; « gaussienne » désigne un cas précis.

On rencontre cette forme sur le tracé d’une densité de probabilité ou sur une représentation lissée de données. Quatre indices se voient sans calcul : un seul sommet, un axe vertical passant par ce sommet, deux côtés en miroir et des branches qui s’abaissent vers l’axe horizontal.

L’axe horizontal porte les valeurs possibles ; la hauteur indique une densité, et non une probabilité ponctuelle. Pour une densité, ce sont les aires sous la courbe entre deux valeurs qui représentent des probabilités. L’allure renseigne sur la concentration autour du centre, mais pas encore sur le nom exact de la loi.

Pour lire une courbe en cloche, on observe la position des valeurs et la densité associée. Premièrement, repérez l’abscisse du sommet : la droite verticale passant par cette abscisse donne l’axe de symétrie. Deuxièmement, comparez les hauteurs à égale distance de cet axe ; elles doivent coïncider si la courbe est symétrique. Troisièmement, vérifiez qu’il n’existe qu’un seul maximum. Enfin, observez la vitesse à laquelle les branches s’approchent de zéro.

La convention décisive est que la probabilité correspond à une aire sous une densité, jamais à sa seule hauteur. L’œil peut aussi prendre toute bosse symétrique pour une gaussienne. Le bon réflexe consiste à contrôler la formule ou le modèle annoncé, puis à examiner les branches : deux courbes proches au centre peuvent avoir des queues très différentes.

Comparons deux densités centrées en 0 : la densité normale standard et la densité de Cauchy standard. Pour la normale, μ = 0 et σ = 1. Pour Cauchy, le paramètre de position vaut 0 et le paramètre d’échelle vaut 1.

1. Au centre, la densité normale vaut $f(0)=1\mathrm{/}\sqrt{2\pi }\approx \mathrm{0,3989}f(0)=1/\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash approx0\{,\}3989$.

2. À une unité du centre, sa valeur devient $f(1)=e^{-1\mathrm{/}2}\mathrm{/}\sqrt{2\pi }\approx \mathrm{0,2420}f(1)=e^\{-1/2\}/\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash approx0\{,\}2420$. Par symétrie, f(−1) possède la même valeur.

3. La densité de Cauchy vaut $g(x)=1\mathrm{/}(\pi (1+x^2))g(x)=1/(\backslash pi(1+x^2))$. Ainsi, g(0) = 1/π ≈ 0,3183 et g(1) = 1/(2π) ≈ 0,1592.

4. Les deux tracés ont un sommet unique en 0 et sont symétriques. Pourtant, à x = 4, la normale vaut environ 0,000134 tandis que Cauchy vaut environ 0,0187. Ce contrôle refaisable montre que deux courbes en cloche peuvent correspondre à des lois distinctes.

Devant un graphique de mesures, la forme en cloche sert de premier repère visuel. On situe le sommet, on cherche la symétrie et on regarde la décroissance des deux côtés. Si le tracé est dissymétrique ou possède plusieurs sommets, cette description ne convient pas.

Pour choisir un modèle probabiliste, l’allure seule ne suffit pas. Une loi normale peut convenir lorsque sa formule et ses hypothèses sont justifiées ; une loi de Cauchy, de Laplace ou de Student peut mieux rendre compte d’une autre décroissance loin du centre.

Pour communiquer un résultat, on nomme donc séparément l’observation et le modèle : « le tracé a une forme en cloche » décrit ce qui est visible ; « les données suivent une loi normale » affirme davantage et demande une vérification statistique.

Courbe en cloche et courbe de Gauss. La première désigne une forme générale ; la seconde est la densité d’une loi normale. Une courbe de Cauchy symétrique à sommet unique tranche le cas : elle est en cloche, mais elle n’est pas gaussienne.

Densité et probabilité. La hauteur d’une densité en une abscisse n’est pas la probabilité d’obtenir exactement cette valeur. Pour une variable continue, la probabilité d’un intervalle se lit comme l’aire sous la courbe sur cet intervalle.

Une ressemblance n’est pas une identification. Dans l’exemple, les deux densités sont symétriques et culminent en 0. À x = 4, leurs valeurs diffèrent pourtant d’un facteur d’environ 140. Il faut comparer la formule ou les queues, pas seulement le voisinage du sommet.

Un histogramme n’est pas une densité théorique. Son apparence dépend du choix des classes et du nombre d’observations. Une silhouette vaguement symétrique ne prouve ni l’unimodalité de la distribution sous-jacente ni l’adéquation d’une loi normale.

La symétrie est une condition de la définition retenue ici. Une courbe à sommet unique mais nettement dissymétrique ne répond pas à cette définition de la cloche. Il faut alors décrire sa dissymétrie plutôt que forcer l’étiquette.

Les paramètres ne se transportent pas automatiquement. L’espérance μ et l’écart-type σ décrivent la normale présentée ici. La loi de Cauchy standard de l’exemple possède un centre et une échelle, mais ni espérance ni écart-type finis.

L’allure centrale d’une densité et le comportement de ses queues apportent des informations différentes. Pour prolonger l’étude, on peut comparer des lois symétriques après avoir fixé un même centre, puis examiner leurs paramètres, leurs moments lorsqu’ils existent et la décroissance des valeurs loin du sommet. Cette démarche sépare une ressemblance graphique d’une véritable équivalence probabiliste.