variable gaussienne

Imaginez une tâche qui dure le plus souvent autour de 10 minutes. Des durées proches de 10 minutes sont fréquentes, tandis que les durées très courtes ou très longues deviennent rares. Si cette répartition est symétrique et prend la forme d'une cloche, une variable gaussienne peut la modéliser.

La moyenne place le sommet de la cloche. L'écart type mesure son étalement : avec une moyenne de 10 minutes et un écart type de 2 minutes, environ 68,27 % des durées modélisées se trouvent entre 8 et 12 minutes. La courbe associée rend visibles cette symétrie et cette concentration autour de la moyenne.

Une variable aléatoire réelle X est gaussienne, ou normale, lorsqu'elle suit une loi normale. Dans le cas non dégénéré, cette loi est déterminée par sa moyenne μ, qui fixe son centre, et par son écart type σ strictement positif, qui fixe sa dispersion. On la note $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)X\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$. La variance est alors σ².

Pour toute valeur réelle x, sa densité vaut : La densité est symétrique autour de μ et son aire totale vaut 1. Une densité donne une probabilité sur un intervalle ; pour une valeur isolée, la probabilité est nulle.

Lorsque μ vaut 0 et σ vaut 1, la loi est dite normale centrée réduite. Certaines conventions admettent aussi σ = 0 : la variable vaut alors μ avec probabilité 1, mais sa loi ne possède plus de densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Le théorème central limite explique la fréquence de la loi normale : sous des hypothèses adaptées, une somme centrée et normalisée de nombreuses variables indépendantes converge en loi vers une variable gaussienne.

On modélise la durée X d'une tâche par une loi normale. Les données sont une moyenne μ de 10 minutes, un écart type σ de 2 minutes et l'intervalle de 8 à 12 minutes. On cherche la probabilité que la tâche se termine dans cet intervalle.

1. On centre et on réduit X en posant $Z=\frac{X-10}{2}Z=\backslash frac\{X-10\}\{2\}$. La variable Z suit la loi normale centrée réduite.

2. Les bornes deviennent $\frac{8-10}{2}=-1\backslash frac\{8-10\}\{2\}=-1$ et $\frac{12-10}{2}=1\backslash frac\{12-10\}\{2\}=1$. Ainsi, $P(8\le X\le 12)=P(-1\le Z\le 1)P(8\backslash leq\; X\backslash leq12)=P(-1\backslash leq\; Z\backslash leq1)$.

3. Une table ou un calcul de la fonction de répartition de Z donne $P(-1\le Z\le 1)\approx \mathrm{0,6827}P(-1\backslash leq\; Z\backslash leq1)\backslash approx0\{,\}6827$. La probabilité cherchée est donc d'environ 68,27 %.

Le contrôle repose sur la symétrie : les 31,73 % restants se partagent également sous le modèle, soit environ 15,87 % avant 8 minutes et 15,87 % après 12 minutes, aux arrondis près.

Pour décrire une série de mesures regroupées autour d'une valeur centrale, on estime la moyenne et l'écart type, puis on compare l'histogramme à une forme en cloche. Si la série est nettement dissymétrique ou présente plusieurs sommets, un autre modèle est préférable.

Pour calculer une probabilité, on transforme une variable X de moyenne μ et d'écart type σ en variable centrée réduite. Cette standardisation permet d'utiliser une même fonction de répartition pour toutes les lois normales non dégénérées.

Pour étudier une somme de nombreux effets indépendants, le théorème central limite peut justifier une approximation normale après centrage et changement d'échelle. Si quelques effets dominent la somme ou si les hypothèses du théorème choisi échouent, il faut contrôler l'approximation ou conserver le modèle exact.

Une variable gaussienne n'est pas nécessairement une variable normale centrée réduite. Le critère est numérique : la seconde a une moyenne égale à 0 et un écart type égal à 1. La durée X de moyenne 10 minutes et d'écart type 2 minutes est gaussienne, mais seule la variable Z obtenue par standardisation est centrée réduite.

Une courbe en cloche observée ne suffit pas à établir une loi normale. Le critère porte sur toute la distribution, pas seulement sur l'allure d'un histogramme. Une série finie apparemment symétrique peut donc nécessiter des diagnostics supplémentaires avant d'être modélisée par une loi normale.

La loi normale n'est pas le théorème central limite. La première est une famille de distributions définie par μ et σ ; le second est un résultat de convergence pour des sommes centrées et normalisées sous des hypothèses précises. Affirmer que Z suit la loi normale centrée réduite décrit sa distribution ; étudier la limite d'une suite de sommes normalisées mobilise le théorème.

Si σ = 0, la formule de densité contient une division par zéro. La variable est alors constante, égale à μ avec probabilité 1, dans les conventions qui autorisent ce cas dégénéré. Il faut la traiter séparément plutôt que substituer 0 dans la densité.

Une loi normale attribue une probabilité positive à tout intervalle réel non dégénéré, même très éloigné de la moyenne. Pour une grandeur qui ne peut jamais être négative, le symptôme d'un modèle inadéquat est une probabilité non négligeable sous 0 ; il faut alors choisir un modèle compatible avec le support ou justifier que cette probabilité est négligeable.

L'indépendance seule ne garantit pas qu'une somme brute devienne gaussienne. Le théorème central limite concerne une somme centrée et normalisée et demande des hypothèses supplémentaires selon sa version. Il faut identifier le théorème applicable et vérifier ses conditions avant d'employer l'approximation.

La règle des 68,27 % vaut pour l'intervalle allant de μ − σ à μ + σ d'une loi normale. L'appliquer automatiquement à des données asymétriques, multimodales ou seulement supposées normales produit une lecture trompeuse ; il faut d'abord examiner l'adéquation du modèle.

La standardisation ramène toute variable normale non dégénérée à la loi centrée réduite. Elle permet de séparer le calcul universel, porté par Z, des unités et de l'échelle propres à X.

Une transformation affine d'une variable gaussienne reste gaussienne. Cette stabilité explique pourquoi le centrage, le changement d'unité et certaines combinaisons linéaires conservent la même famille de lois.

Le cadre se prolonge aux vecteurs gaussiens : une moyenne vectorielle décrit leur position et une matrice de covariance décrit les dispersions ainsi que les dépendances linéaires entre composantes.