Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi normale centrée réduite
La loi normale centrée réduite, notée N(0, 1), est le cas particulier de la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1. Sa densité de probabilité est φ(x) = (1/√(2π)) · e^(−x²/2), définie sur ℝ. Cette densité n'a pas de primitive élémentaire ; sa fonction de répartition Φ peut s'exprimer à l'aide de la fonction spéciale erf, et est tabulée ou calculée numériquement. La probabilité P(a < X < b) pour une variable X ~ N(0, 1) est donnée par l'intégrale ∫ₐᵇ φ(x) dx = Φ(b) − Φ(a). Toute variable aléatoire normale X ~ N(m, σ²) se ramène à la loi normale centrée réduite par la standardisation Z = (X − m)/σ. Cette loi est fondamentale en statistique. Les tests de Student, du khi-deux et de Fisher ont toutefois chacun leur loi de référence propre ; une approximation normale n'est valable que sous des conditions asymptotiques adaptées et, selon le cas, après transformation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les paramètres 0 et 1 de la loi normale centrée réduite.
- Transformer une variable normale X en variable standardisée Z.
- Calculer une probabilité d’intervalle avec la fonction Φ.
- Distinguer densité, probabilité cumulée et loi de Student.
En clair
Un score de 80 points paraît élevé dans une série dont la moyenne est 70 points et l’écart-type 10 points. En lui retirant la moyenne, puis en divisant par l’écart-type, on obtient 1 : ce score se situe à un écart-type au-dessus de la moyenne.
Cette conversion place toute variable normale sur la même échelle. La moyenne devient 0 et un écart-type devient une unité. La loi obtenue est la loi normale centrée réduite, notée N(0, 1). Sa courbe symétrique sert alors de référence pour lire les probabilités entre deux positions standardisées.
Définition
La loi normale centrée réduite est la loi normale N(0, 1). Une variable aléatoire réelle Z qui suit cette loi a une espérance nulle et un écart-type égal à 1, donc une variance égale à 1. Sa densité φ associe à toute valeur réelle z le nombre suivant :
La fonction de répartition Φ donne la probabilité que Z soit inférieur ou égal à une valeur donnée. La densité φ n’a pas de primitive élémentaire ; Φ peut s’exprimer à l’aide de la fonction spéciale erf, et se calcule couramment avec une table ou numériquement. Pour deux réels a et b tels que a < b, la probabilité comprise entre ces bornes vaut , c’est-à-dire l’intégrale de φ entre a et b. Toute variable normale X d’espérance m et de variance σ2, avec σ > 0, se transforme en Z par . Cette standardisation rend une même table utilisable pour toutes les lois normales. Les tests de Student, du khi-deux et de Fisher conservent chacun leur loi de référence propre. Selon le test et sous des conditions asymptotiques explicites, une approximation normale peut être obtenue, parfois après transformation.
Le principe
Soit une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance m et de variance σ2, où m est réel et σ est strictement positif. On centre X en retranchant m, puis on la réduit en divisant par σ. La variable Z obtenue suit alors la loi N(0, 1) :
Pour calculer la probabilité que X soit comprise entre deux réels x1 < x2, on standardise les deux bornes, puis on soustrait les valeurs de la fonction de répartition Φ :
Le résultat est une probabilité comprise entre 0 et 1.
Quand l'utiliser
La règle s’applique lorsque la variable étudiée suit une loi normale. Il faut connaître son espérance m et son écart-type σ, avec σ > 0. Ces deux données suffisent à convertir une valeur x en position standardisée z. Si la variable suit déjà N(0, 1), aucune conversion n’est nécessaire. La fonction Φ donne ensuite une probabilité cumulée, et la différence de deux valeurs de Φ donne une probabilité d’intervalle.
Si σ = 0, la division est impossible : la variable est égale presque sûrement à une constante et ne relève pas d’une loi normale non dégénérée. Si la distribution n’est pas normale mais admet une moyenne et une variance finies, avec un écart-type σ strictement positif, lui retrancher sa moyenne et la diviser par σ produit bien une variable de moyenne 0 et d’écart-type 1, mais pas nécessairement une loi N(0, 1). Il faut alors conserver le modèle adapté à la distribution observée ou utiliser sa répartition empirique.
Un exemple, pas à pas
On suppose qu’un score X suit une loi normale. Les données sont une moyenne m = 70 points, un écart-type σ = 10 points et l’intervalle allant de 60 à 80 points. On cherche la probabilité qu’un score appartienne à cet intervalle.
1. On standardise les deux bornes : et . L’intervalle de 60 à 80 points devient donc l’intervalle de −1 à 1 sur l’échelle centrée réduite.
2. On applique la fonction de répartition : .
3. Un calcul numérique donne Φ(1) ≈ 0,841345 et Φ(−1) ≈ 0,158655. Leur différence vaut environ 0,682690, soit 68,27 %.
4. On contrôle le résultat par symétrie. En utilisant l’arrondi précédent, 1 − 0,682690 = 0,317310 ; la probabilité extérieure vaut donc environ 0,317310 et chaque côté porte environ 0,158655, ce qui retrouve Φ(−1). Ainsi, environ 68,27 % des scores du modèle se trouvent entre 60 et 80 points.
En pratique
Pour situer une observation dans une population modélisée par une loi normale, on calcule son score standardisé. La valeur obtenue indique un écart à la moyenne mesuré en écarts-types. Des valeurs brutes exprimant la même grandeur dans la même unité restent directement comparables, même si les modèles diffèrent. Lorsque les moyennes ou les écarts-types diffèrent, la standardisation fournit une méthode commune pour comparer les positions relatives au moyen de scores standardisés.
Pour obtenir une probabilité sous un modèle normal, on convertit les bornes de l’intervalle, puis on lit Φ dans une table ou un logiciel. Si les données ne sont pas raisonnablement décrites par une loi normale, une répartition empirique ou un autre modèle est préférable : centrer et réduire ne corrige pas la forme de la distribution.
Dans les méthodes statistiques, N(0, 1) sert de référence à de nombreux raisonnements asymptotiques. Un test de Student, du khi-deux ou de Fisher conserve toutefois sa propre loi de référence ; on ne la remplace par l’approximation asymptotique que lorsque les conditions de la méthode le permettent.
À ne pas confondre
Loi normale centrée réduite et loi normale quelconque. La première a nécessairement une espérance 0 et un écart-type 1. Dans l’exemple, X a pour paramètres 70 et 10 : ce n’est pas X, mais la variable standardisée Z, qui suit N(0, 1).
Densité φ et fonction de répartition Φ. La densité décrit la hauteur de la courbe, tandis que Φ(z) est une probabilité cumulée. À z = 1, φ(1) ≈ 0,2420, alors que Φ(1) ≈ 0,841345 : le type de valeur permet de trancher.
Loi N(0, 1) et loi de Student. Elles sont toutes deux symétriques, mais la loi de Student dépend d’un nombre de degrés de liberté. Un calcul qui estime l’écart-type inconnu dans le cadre d’un test de Student emploie sa loi propre, et non automatiquement N(0, 1).
Limites et pièges
Écart-type nul. Le cas charnière σ = 0 rend la formule de standardisation indéfinie. La variable est alors constante presque sûrement ; il faut la traiter comme une distribution dégénérée, sans tenter de la ramener à N(0, 1).
Centrer-réduire une distribution non normale. Une forte dissymétrie ou plusieurs sommets restent visibles après la transformation. La moyenne devient 0 et l’écart-type 1, mais la courbe n’est pas pour autant normale ; il faut calculer les probabilités avec le modèle réellement adapté.
Attribuer une probabilité à une valeur exacte. Pour une loi continue, P(Z = 1) vaut 0, même si la densité φ(1) est positive. Sur un intervalle, une probabilité peut être non nulle et s’obtient par une différence de valeurs de Φ.
Chercher une formule fermée pour Φ. La densité normale n’a pas de primitive exprimable à l’aide des seules fonctions élémentaires. Sa fonction de répartition Φ peut toutefois s’écrire avec la fonction spéciale erf ; une table, un logiciel ou une approximation numérique permet aussi de la calculer.
Pour aller plus loin
L'omniprésente loi normale — Cet article élargit la perspective sur la place de la loi normale dans les modèles statistiques.
fonction de répartition — Cette fiche précise pourquoi Φ transforme une borne en probabilité cumulée.
écart-type — Elle approfondit la mesure qui devient l’unité de l’échelle standardisée.
loi de Student — Elle distingue cette loi de référence de N(0, 1) et explique le rôle des degrés de liberté.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres