En sciences, le hasard serait un aveu de faiblesse, un paradoxe, un domaine honteux ! Un aveu de faiblesse car, chaque effet ayant une cause, invoquer le hasard de l'occurrence d'un effet, c'est ne pas avoir établi un bon diagnostic de sa cause. Un paradoxe, car le hasard a ses lois, la plus célèbre étant la loi normale. Et ce serait enfin un domaine honteux car dédaigné des mathématiciens purs de la veine bourbakiste. Pourtant, le physiologiste britannique Francis Galton (1822–1911) écrivit son admiration de l'ordre qui naît du hasard : « Je ne connais presque rien d'aussi impressionnant que la merveilleuse forme de l'ordre cosmique exprimée par la Loi de fréquence des erreurs… Elle règne sereinement et avec retenue au milieu de la plus folle confusion. »
Par « Loi de fréquence des erreurs », on aura reconnu la loi normale. Depuis, la physique quantique a introduit un hasard nécessaire… et fondamental : Dieu joue aux dés. La loi normale a longtemps été dénommée loi de Laplace en France et loi de Gauss dans les pays anglo-saxons. Tentons un consensus en la dénommant loi de Laplace-Gauss, bien que les approches des deux mathématiciens soient différentes…
Gauss : la voie astronomique ----------------------------
Gauss imagina la loi normale pour améliorer les observations astronomiques de son ami et collègue Heinrich Olbers. Le mathématicien allemand n'observait lui-même que très occasionnellement les objets célestes, mais il s'intéressait à la position des objets lumineux pour distinguer les planètes ou les astéroïdes mobiles des étoiles fixes (compte tenu de la rotation de la Terre) et pour calculer leurs trajectoires. Gauss avait donc calculé la trajectoire de Cérès, le premier astéroïde découvert (entre Mars et Jupiter), sur la base des observations de Olbers, lequel détecta ensuite la présence d'un objet mobile dans la région où Cérès était censé se trouver selon les calculs de Gauss. C'était l'astéroïde Pallas, qui passait fortuitement près de Cérès. Comment connaître au mieux la position A d'un corps céleste à la suite de diverses mesures *A1, A2… An ? La différence Ai – A entre la mesure numéro i et la position réelle correspond à la valeur de l'erreur commise sur la position du corps céleste. Pour calculer A, Gauss a inventé la célèbre méthode des moindres carrés, qui consiste à calculer la valeur de A minimisant la somme des carrés des différentes valeurs Ai – A. Il a montré que cette valeur correspondait à la moyenne Amoy des n observations A1, A2… An. Gauss s'intéresse également à la répartition des erreurs autour de la moyenne, et pour cela propose une autre méthode de calcul. Il suppose que les erreurs sont indépendantes et dénomme P(xi) la probabilité de commettre l'erreur xi = Ai – A lors de l'observation Ai. Pour cela, il introduit la fonction de vraisemblance V(A), égale au produit des probabilités P(xi), qui est la probabilité que cette série d'erreurs ait été commise lors des mesures. Il émet deux hypothèses : la fonction P est symétrique par rapport à la valeur Amo*y (la probabilité de mesurer une certaine valeur inférieure à Amoy est égale à la probabilité de mesurer la même valeur supérieure) et diminue quand la valeur absolue de l'erreur *Ai – Amoy* augmente. Gauss démontre que les fonctions qui satisfont ces deux conditions sont les fonctions du type