Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
planche de Galton
Une planche de Galton est un dispositif où des billes descendent à travers un réseau triangulaire de clous en déviant à chaque rangée vers la gauche ou la droite, puis s'accumulent dans les réceptacles du bas. Si les déviations sont indépendantes et équiprobables, le nombre de pas vers la droite suit une loi binomiale. Elle rend ainsi visible comment la multiplicité des chemins concentre les billes au centre et, lorsque le nombre de rangées est grand, pourquoi le profil binomial s'approche d'une courbe normale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les parties de la planche et le modèle probabiliste associé.
- Recalculer les cinq probabilités d'une planche idéale à quatre rangées.
- Distinguer stabilisation des fréquences et approximation normale.
- Repérer les biais physiques qui invalident le modèle équilibré.
En clair
On lâche une bille au sommet d'une planche hérissée de clous en quinconce. À chaque rangée, elle dévie à gauche ou à droite. Plusieurs chemins peuvent mener au même réceptacle, mais les réceptacles centraux en reçoivent davantage que ceux des bords.
Avec beaucoup de billes et des déviations équilibrées, les hauteurs dessinent un profil symétrique, plus élevé au centre. La planche rend ainsi visibles des choix aléatoires répétés et leur répartition.
Définition
Une planche de Galton comporte un réseau triangulaire de clous en quinconce, puis des réceptacles. Une bille traverse n rangées. À chaque clou, elle part à gauche ou à droite. Dans le modèle idéal, ces choix sont indépendants et les deux directions ont chacune la probabilité p = 1/2. Le trajet équivaut alors à n lancers indépendants d'une pièce équilibrée.
On note X le nombre de déplacements vers la droite. Le réceptacle d'indice i, avec i compris entre 0 et n, rassemble les trajets pour lesquels X = i. Il y a donc n + 1 réceptacles. Le nombre de ces trajets est le coefficient binomial « i parmi n », et leur probabilité est :
Quand le nombre de billes augmente, les fréquences observées se rapprochent de ces probabilités : c'est le rôle de la loi des grands nombres. Quand le nombre de rangées augmente, la loi binomiale, après centrage et changement d'échelle, admet une approximation normale en forme de cloche. Ces deux passages à la limite sont distincts.
Un exemple, pas à pas
Considérons une planche idéale à quatre rangées. Les données sont les suivantes :
n = 4 rangées ;
deux directions équiprobables à chaque clou ;
p = 1/2 pour un déplacement vers la droite ;
cinq réceptacles, d'indices 0 à 4.
n = 4 rangées ;
deux directions équiprobables à chaque clou ;
p = 1/2 pour un déplacement vers la droite ;
cinq réceptacles, d'indices 0 à 4.
1. Quatre choix gauche-droite donnent 24 = 16 trajets possibles, tous de même probabilité dans le modèle idéal.
2. Pour atteindre le réceptacle d'indice 2, la bille doit partir exactement deux fois à droite. Il existe six ordres possibles pour placer ces deux déplacements parmi quatre.
3. La probabilité du réceptacle central vaut donc , soit 37,5 %.
4. De gauche à droite, les cinq probabilités sont 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 et 1/16. Le réceptacle central est donc le plus probable, sans être certain.
Le contrôle consiste à additionner les numérateurs : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Divisée par les 16 trajets possibles, cette somme redonne une probabilité totale égale à 1.
En pratique
En classe ou dans une exposition, on lâche une série de billes puis on compare les hauteurs des réceptacles. Une simulation numérique est préférable lorsque l'on veut répéter très vite l'expérience ou changer le nombre de rangées.
Pour vérifier un calcul binomial, on associe l'indice d'un réceptacle au nombre de déplacements vers la droite. L'énumération des chemins convient pour quatre rangées ; la formule binomiale devient préférable dès que leur nombre rend la liste peu lisible.
Pour tester une planche réelle, on observe si les accumulations sont durablement décentrées après de nombreux lâchers. Si elles le sont, il faut examiner l'inclinaison, les clous ou les billes avant d'interpréter le profil avec le modèle équilibré.
À ne pas confondre
Planche de Galton et triangle de Pascal. Le triangle de Pascal est un tableau de nombres ; la planche est un dispositif aléatoire. Pour quatre rangées, les effectifs théoriques 1, 4, 6, 4, 1 reprennent une ligne du triangle, mais les deux objets ne sont pas identiques.
Loi binomiale et loi normale. Avec un nombre fini de rangées, l'indice du réceptacle prend des valeurs entières et suit une loi binomiale. La loi normale est continue ; elle n'intervient que comme approximation convenablement centrée et mise à l'échelle lorsque le nombre de rangées est grand.
Limites et pièges
Une petite série reste irrégulière. Avec peu de billes, un réceptacle latéral peut momentanément dépasser son voisin. Il faut augmenter le nombre de lâchers et comparer des fréquences, pas exiger les proportions théoriques bille par bille.
Une planche réelle peut être biaisée. Une inclinaison, un clou décalé ou des billes différentes rendent les deux issues inégalement probables. Si les choix restent indépendants et qu'une même probabilité p remplace 1/2 à chaque rangée, la loi reste binomiale mais devient dissymétrique ; si les probabilités varient ou si les choix dépendent du trajet, le modèle binomial simple ne convient plus.
La cloche n'est pas présente à toute échelle. À n = 4, il n'existe que cinq probabilités discrètes : 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 et 1/16. Il faut conserver la loi binomiale exacte ; aucun seuil universel ne transforme soudainement ces barres en courbe normale.
Deux limites sont souvent mélangées. Multiplier les billes stabilise les fréquences observées pour une planche donnée. Multiplier les rangées modifie la loi elle-même et permet son approximation normale après centrage et changement d'échelle.
Illustrations
Pour aller plus loin
Loi binomiale — Retrouvez la loi exacte qui donne la probabilité de chaque réceptacle et le rôle de ses paramètres.
Triangle de Pascal — Reliez le nombre de chemins vers chaque réceptacle aux coefficients 1, 4, 6, 4, 1.
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