loi bêta

Imaginez une proportion inconnue, comme la chance de succès d'une expérience, forcément comprise entre 0 et 1. Une loi bêta répartit les valeurs plus ou moins plausibles sur cet intervalle. Deux paramètres, α et β, règlent sa forme : la courbe peut être plate, concentrée au centre, attirée vers un bord ou creusée en U.

Avec α = β = 1, aucune zone n'est privilégiée : on retrouve la loi uniforme sur [0, 1].

Une variable aléatoire continue X suit une loi bêta de paramètres α et β lorsque ses valeurs appartiennent à [0, 1], que α et β sont strictement positifs et que sa densité est donnée par la formule suivante. La fonction B normalise l'aire sous la courbe à 1.

Les paramètres pilotent la forme sans changer le support. Beta(1, 1) est uniforme. Lorsque α et β sont supérieurs à 1, la densité s'annule aux deux bords et présente un sommet intérieur. D'autres choix donnent une densité monotone ou en U. Une transformation affine transporte cette loi de [0, 1] vers n'importe quel intervalle borné.

Si U₁, …, U_n sont indépendantes et uniformes sur [0, 1], puis rangées par ordre croissant, alors leur k-ième valeur U_(k) suit la loi Beta(k, n − k + 1).

En statistique bayésienne, une autre règle s'applique à une probabilité de succès p. Avec un a priori Beta(α, β), s succès et f échecs binomiaux conduisent à l'a posteriori suivant : $p\mid \text{donn}\acute{\text{e}}\text{es}\sim \mathrm{Beta}(\alpha +s,\beta +f)p\backslash mid\backslash text\{données\}\backslash sim\backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha+s,\backslash beta+f)$.

La loi bêta directe s'applique à une variable continue comprise entre 0 et 1, avec deux paramètres α > 0 et β > 0. Pour la règle bayésienne, les observations doivent être codées en succès ou échecs et partager une même probabilité de succès p dans le modèle binomial. Les nombres s et f sont alors ajoutés aux paramètres initiaux.

Une mesure non bornée, comme une durée positive sans maximum fixé, ne suit pas directement une loi bêta. Il faut choisir une loi adaptée à ce support. Si la grandeur reste bornée entre deux valeurs a et b, une transformation affine peut d'abord la ramener sur [0, 1].

On modélise une probabilité inconnue p. L'a priori est uniforme, donc Beta(1, 1). Les données contiennent un succès et deux échecs.

1. Le paramètre associé aux succès devient α = 1 + 1 = 2.
2. Le paramètre associé aux échecs devient β = 1 + 2 = 3.
3. L'a posteriori est donc Beta(2, 3).
4. Comme B(2, 3) = 1/12, sa densité vaut $f(x)=12x(1-x{)}^{2}f(x)=12x(1-x)^2$ sur [0, 1].

Le contrôle consiste à intégrer cette densité : ${\int }_0^{1}12x(1-x{)}^{2}dx=1\backslash int\_0^1\; 12x(1-x)^2\backslash ,dx=1$. La courbe culmine en x = 1/3 et la moyenne vaut 2/5 = 0,4. Ces deux repères ne coïncident pas, car la distribution est dissymétrique.

Pour estimer une probabilité de succès à partir d'essais binaires, la loi bêta permet de représenter l'incertitude avant les observations, puis de la mettre à jour en ajoutant succès et échecs. Une valeur unique suffit moins bien lorsqu'on veut conserver cette incertitude.

Pour décrire une proportion continue observée sur [0, 1], on choisit α et β afin d'obtenir une forme compatible avec les valeurs plausibles. Si chaque observation vaut seulement 0 ou 1, une loi de Bernoulli la modélise ; la loi binomiale modélise le nombre de succès sur un nombre fixé d'essais, et la loi bêta peut décrire leur probabilité inconnue.

Pour étudier la k-ième valeur d'un échantillon uniforme trié, le résultat Beta(k, n − k + 1) donne directement sa distribution, sans simuler tous les classements.

Loi bêta et loi binomiale. La loi bêta est continue sur [0, 1], tandis que la loi binomiale porte sur un nombre entier de succès. Dans l'exemple, Beta(2, 3) décrit la probabilité p après observation ; le total d'un succès sur trois essais est une donnée binomiale.

Loi bêta et loi uniforme. La loi uniforme continue n'est pas une famille concurrente dans ce cadre : elle est exactement le cas Beta(1, 1). Beta(2, 3), en revanche, attribue des densités différentes aux valeurs de [0, 1].

Paramètres au bord. α et β doivent rester strictement positifs. Fixer l'un d'eux à 0 ne produit pas une densité bêta ordinaire ; il faut reformuler le modèle au lieu d'utiliser la même formule.

Densité infinie, probabilité finie. Si α < 1, la densité diverge lorsque x tend vers 0 ; si β < 1, elle diverge lorsque x tend vers 1. Cela ne donne pas une probabilité infinie au bord : la probabilité d'un point isolé reste nulle pour cette loi continue.

Moyenne et sommet. Dans Beta(2, 3), la moyenne 0,4 n'est pas le sommet 1/3. Employer l'une comme si elle désignait automatiquement la valeur la plus dense fausse la lecture d'une distribution dissymétrique.

La loi binomiale précise le modèle des nombres de succès auquel la loi bêta s'associe comme loi a priori conjuguée.

La notion de densité de probabilité aide à interpréter l'aire sous une courbe bêta et sa normalisation.