Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Binomiale négative (loi de)
La loi binomiale négative (ou loi de Pascal) est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d'échecs avant d'obtenir un nombre fixé r de succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p. Si X suit une loi binomiale négative de paramètres r et p, la probabilité P(X = k) représente la probabilité d'obtenir exactement k échecs avant le r-ième succès. L'espérance de X est r(1-p)/p et sa variance est r(1-p)/p^2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que comptent r, p, k et la variable X.
- Appliquer la formule de probabilité à un cas numérique contrôlable.
- Relier espérance et variance à la convention qui compte les échecs.
- Distinguer la loi binomiale négative des lois binomiale et géométrique.
En clair
Une joueuse lance plusieurs fois une pièce biaisée et s’arrête dès qu’elle obtient son troisième succès. Elle peut avoir subi zéro, deux ou dix échecs auparavant. La loi binomiale négative décrit précisément ce nombre variable d’échecs. Le nombre de succès à atteindre est fixé d’avance, tandis que la durée de l’expérience reste inconnue. Chaque essai conserve la même chance de succès et ne dépend pas des précédents.
Définition
La loi binomiale négative, aussi appelée loi de Pascal, est une loi discrète associée à une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes. Chaque épreuve a deux issues, nommées succès et échec, et la probabilité de succès reste constante.
Le paramètre r désigne le nombre entier strictement positif de succès attendu avant l’arrêt. Le paramètre p désigne la probabilité de succès à chaque épreuve, avec 0 < p ≤ 1. La variable aléatoire X compte les échecs observés avant le r-ième succès. Ses valeurs possibles sont les entiers k ≥ 0 lorsque 0 < p < 1 ; lorsque p = 1, elles se réduisent à {0}.
Cette convention de comptage est essentielle : certains ouvrages appellent aussi « binomiale négative » la loi du nombre total d’épreuves jusqu’au r-ième succès. Dans ce cas, la variable vaut X + r et commence à r. Avec la convention retenue ici, l’espérance est r(1 − p)/p et la variance est r(1 − p)/p2.
Le principe
Soit r un entier strictement positif et p une probabilité telle que 0 < p < 1. Si X compte les échecs avant le r-ième succès dans des épreuves de Bernoulli indépendantes de même probabilité p, alors, pour tout entier k ≥ 0 :
Le coefficient binomial compte les positions possibles des k échecs parmi les k + r − 1 premières épreuves. La dernière épreuve est nécessairement le r-ième succès.
Quand l'utiliser
Le modèle s’applique lorsque chaque essai n’a que deux issues, que les essais sont indépendants et que la probabilité p du succès reste constante. Il faut aussi fixer avant l’expérience un nombre entier r ≥ 1 de succès et observer les essais jusqu’au r-ième succès. La variable obtenue compte alors les échecs antérieurs à cet arrêt.
Si la chance de succès change après chaque essai, par exemple lors d’un tirage sans remise, une même valeur de p ne décrit plus l’expérience. Il faut alors employer un modèle tenant compte de probabilités variables. Si le nombre total d’essais est fixé d’avance, la loi binomiale convient au nombre de succès, pas la loi binomiale négative.
Un exemple, pas à pas
Une joueuse répète une épreuve indépendante dont la probabilité de succès vaut p = 0,4. Elle s’arrête au troisième succès. On cherche la probabilité qu’elle ait exactement deux échecs avant cet arrêt.
Données : r = 3 succès ; p = 0,4 ; k = 2 échecs ; 1 − p = 0,6.
Données : r = 3 succès ; p = 0,4 ; k = 2 échecs ; 1 − p = 0,6.
1. Le cinquième essai doit être un succès, puisque deux échecs et trois succès ont alors eu lieu.
2. Parmi les quatre premiers essais, les deux autres succès peuvent occuper paires de positions. Les six déroulements compatibles permettent de voir ce dénombrement.
3. Chaque déroulement contient trois succès et deux échecs, donc sa probabilité vaut 0,43 × 0,62 = 0,02304.
2. Parmi les quatre premiers essais, les deux autres succès peuvent occuper paires de positions. Les six déroulements compatibles permettent de voir ce dénombrement.
3. Chaque déroulement contient trois succès et deux échecs, donc sa probabilité vaut 0,43 × 0,62 = 0,02304.
La probabilité cherchée est donc 6 × 0,02304 = 0,13824, soit 13,824 %. Le contrôle consiste à appliquer directement la formule : . Pour cette même loi, le nombre moyen d’échecs vaut 3 × 0,6 / 0,4 = 4,5.
En pratique
Dans un contrôle qualité, la loi peut décrire le nombre de pièces défectueuses observées avant d’obtenir un quota de pièces conformes, si les contrôles sont indépendants et de même fiabilité. Si le nombre de pièces inspectées est fixé, la loi binomiale devient l’alternative naturelle.
Dans une série de tentatives répétées, elle répond à une question d’attente : combien d’échecs surviennent avant le r-ième succès ? Pour un seul succès attendu, la loi géométrique suffit.
En statistique, une autre paramétrisation de la loi binomiale négative sert aussi à modéliser des comptages dont la variance dépasse la moyenne. Cet usage demande de vérifier la convention du logiciel, notamment ce que ses deux paramètres représentent.
À ne pas confondre
Loi binomiale. Elle fixe le nombre total d’essais et compte les succès. La loi binomiale négative fixe au contraire le nombre de succès à atteindre et compte les échecs avant l’arrêt. Dix essais imposés relèvent de la première ; un arrêt au troisième succès relève de la seconde.
Loi géométrique. Elle décrit l’attente du premier succès : c’est le cas r = 1 de la loi binomiale négative, selon une convention cohérente de comptage. Dès que l’arrêt exige trois succès, comme dans l’exemple, le modèle géométrique ne suffit plus.
Loi de Pascal en probabilités et loi physique de Pascal. Le contexte tranche : des succès répétés renvoient à la loi binomiale négative ; une pression transmise dans un fluide renvoie au principe physique.
Limites et pièges
Convention de comptage. Un résultat qui commence à r au lieu de 0 compte probablement le total des essais plutôt que les échecs. Il faut lire la définition de la variable et soustraire r pour retrouver la convention X.
Cas p = 1. Aucun échec n’est possible : X vaut toujours 0, son espérance et sa variance sont nulles. À p = 0, le r-ième succès n’arrive jamais ; la loi décrite ici n’est donc pas définie comme une loi sur les entiers finis.
Probabilité faible. Quand p se rapproche de 0 sans l’atteindre, les longues attentes deviennent fréquentes et l’espérance r(1 − p)/p augmente fortement. Tronquer trop tôt un calcul numérique ferait perdre une part visible de la probabilité totale.
Dépendance ou probabilité variable. Des séries anormalement regroupées peuvent signaler que l’indépendance ou la constance de p ne tient pas. Il faut alors réexaminer le mécanisme des essais avant d’ajuster cette loi.
Pour aller plus loin
épreuve de Bernoulli — Pour préciser le modèle binaire répété sur lequel repose la loi binomiale négative.
loi géométrique — Pour étudier séparément le cas où l’on attend un seul succès.
loi binomiale — Pour comparer l’arrêt après un quota de succès avec un nombre d’essais fixé d’avance.
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