Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont l'ensemble des issues (l'univers Ω) ne contient que deux éléments : typiquement nommés succès et échec, ou bien pile et face, ou encore oui et non. Chacune de ces issues se réalise avec une probabilité déterminée, la somme des deux probabilités étant égale à 1. On associe à une telle expérience une variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. La loi de probabilité correspondante est la loi de Bernoulli.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une expérience aléatoire qui possède exactement deux issues.
- Choisir l'issue appelée succès et coder le résultat par une variable valant 0 ou 1.
- Calculer les probabilités 0,15 et 0,85 dans un exemple de contrôle de qualité.
- Distinguer une épreuve de la loi de Bernoulli, du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale.
- Repérer les cas dégénérés, les fausses alternatives binaires et une probabilité modifiée par un tirage sans remise.
En clair
Une boîte contient 20 pièces, dont 3 sont défectueuses. On en choisit une au hasard et l'on pose une seule question : « est-elle défectueuse ? » Il n'y a que deux réponses possibles. On décide d'appeler succès la réponse « oui », même si une pièce défectueuse n'est pas souhaitable.
Ce choix unique est une épreuve de Bernoulli. Le mot « succès » désigne simplement l'issue que l'on suit. Ici, sa probabilité vaut 3/20, soit 0,15, tandis que l'autre issue a pour probabilité 17/20, soit 0,85.
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant exactement deux issues. L'une est conventionnellement appelée succès et l'autre échec. Si le nombre p désigne la probabilité du succès, alors p est compris entre 0 et 1 et la probabilité de l'échec vaut 1 − p. Les deux probabilités ont donc pour somme 1.
On code le résultat par une variable aléatoire nommée X : elle vaut 1 lorsque le succès se produit et 0 lorsqu'il ne se produit pas. Sa loi de probabilité est la loi de Bernoulli de paramètre p : . Les mots « succès » et « échec » ne portent aucun jugement ; ils fixent seulement laquelle des deux issues est codée par 1.
Dans la boîte de 20 pièces, « obtenir une pièce défectueuse » est le succès choisi. On a p = 3/20 = 0,15 et la variable X vaut 1 pour une pièce défectueuse, 0 pour une pièce conforme. Changer l'issue appelée succès remplace p par 1 − p et échange les codes 0 et 1, sans changer l'expérience observée.
Un exemple, pas à pas
Une boîte contient 20 pièces indiscernables au toucher : 3 sont défectueuses et 17 sont conformes. Une pièce est choisie uniformément au hasard. Le succès est « la pièce choisie est défectueuse » et la variable aléatoire X vaut 1 en cas de succès, 0 sinon.
1. Vérifions les issues : la pièce est soit défectueuse, soit conforme. Elles sont incompatibles et couvrent tous les résultats du choix.
2. Calculons la probabilité du succès. Parmi les 20 pièces équiprobables, 3 sont défectueuses, donc p = 3/20 = 0,15. L'arbre représente les deux seules branches et leur codage.
3. Calculons la probabilité de l'échec : 1 − p = 1 − 0,15 = 0,85, ce qui coïncide avec 17/20. La loi obtenue est donc .
4. Contrôlons le total : 0,15 + 0,85 = 1. Les deux probabilités sont comprises entre 0 et 1 ; elles décrivent bien toutes les issues de cette épreuve unique.
En pratique
Lors d'un contrôle de qualité, une pièce prise au hasard peut être classée « défectueuse » ou « conforme ». L'épreuve de Bernoulli convient si une seule pièce est observée et si le critère de conformité donne réellement deux catégories. S'il existe plusieurs niveaux de défaut à distinguer, il faut conserver davantage d'issues.
Pour une réponse oui ou non à une question, choisissez d'abord l'événement codé par 1, puis estimez sa probabilité p. Si les réponses possibles incluent « indéterminé » ou « sans réponse » et qu'elles portent une information utile, le modèle à deux issues ne suffit pas.
Pour simuler l'épreuve, on tire un nombre au hasard entre 0 et 1 et l'on code succès lorsqu'il tombe dans une portion de longueur p. Cette méthode reproduit les deux probabilités ; elle ne suffit pas, à elle seule, à rendre indépendantes plusieurs répétitions.
À ne pas confondre
Épreuve et loi de Bernoulli. L'épreuve est l'expérience à deux issues ; la loi décrit les probabilités de la variable X qui code ces issues par 1 et 0. Choisir une pièce est l'épreuve, tandis que P(X = 1) = 0,15 et P(X = 0) = 0,85 constituent sa loi.
Épreuve et schéma de Bernoulli. Une seule observation à deux issues forme une épreuve. Plusieurs épreuves de même paramètre p, répétées de façon indépendante, forment un schéma de Bernoulli. Deux tirages successifs sans remise dans la boîte ne conviennent pas : la composition change après le premier tirage.
Loi de Bernoulli et loi binomiale. Une variable de Bernoulli vaut seulement 0 ou 1. La variable binomiale compte les succès au cours de plusieurs épreuves indépendantes de même probabilité : sur dix contrôles indépendants, elle peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 10.
Limites et pièges
Cas dégénérés. Les valeurs p = 0 et p = 1 sont permises : la variable X est alors constante. Le formalisme reste celui d'une loi de Bernoulli, mais l'issue de probabilité nulle ne sera jamais observée dans le modèle.
Fausse alternative binaire. Deux étiquettes ne suffisent pas si elles ne couvrent pas tous les résultats ou se recouvrent. Si une pièce peut être « conforme », « rayée » ou « cassée », il faut définir le succès comme un événement précis, par exemple « présente au moins un défaut », ou garder trois issues.
Probabilité qui change. Dans deux tirages sans remise, obtenir une pièce défectueuse au premier tirage modifie la boîte : la probabilité suivante devient 2/19, tandis qu'un premier tirage conforme la porte à 3/19. Il faut calculer des probabilités conditionnelles, et non réutiliser mécaniquement p = 3/20.
Succès trompeur. Une issue appelée succès peut être indésirable, comme une pièce défectueuse. Pour éviter une inversion, écrivez toujours l'événement codé par X = 1 avant de calculer p ; le vocabulaire seul ne détermine pas ce codage.
Pour aller plus loin
loi de Bernoulli — Approfondir la distribution de la variable codée par 0 et 1 et le rôle de son paramètre p.
schéma de Bernoulli — Passer d'une épreuve unique à plusieurs répétitions indépendantes ayant la même probabilité de succès.
loi binomiale — Étudier le nombre total de succès obtenu dans un schéma de Bernoulli.
variable aléatoire — Situer le codage 0–1 parmi les fonctions qui associent une valeur numérique à chaque issue.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres