schéma de Bernoulli

Un générateur affiche rouge ou bleu. On l'actionne cinq fois, toujours dans les mêmes conditions. Chaque affichage ne change pas les suivants : les cinq essais forment alors un schéma de Bernoulli. « Rouge » peut être appelé succès et « bleu » échec, sans jugement de valeur.

Ce cadre transforme une suite de résultats en une question de comptage : combien de succès apparaissent parmi un nombre fixé d'essais ? Il convient dès que chaque essai n'a que deux issues, garde la même probabilité de succès et reste indépendant des autres.

Un schéma de Bernoulli est une suite d'un nombre fixé d'épreuves de Bernoulli identiques et mutuellement indépendantes. Ce nombre d'épreuves est noté n. À chaque épreuve, deux issues seulement sont distinguées : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 − p. Le mot « succès » est une convention ; il désigne simplement l'issue que l'on décide de compter.

Les épreuves sont identiques lorsque la probabilité p reste la même à chaque répétition. Elles sont mutuellement indépendantes lorsque connaître des résultats déjà obtenus ne modifie pas la loi des autres épreuves. Si la variable aléatoire X compte le nombre de succès, elle peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à n et suit la loi binomiale de paramètres n et p. Pour un entier k compris entre 0 et n, sa probabilité est :

Le coefficient binomial compte les choix des k positions occupées par les succès. Un arbre de probabilité représente les mêmes répétitions : chaque niveau correspond à une épreuve et chaque chemin à une suite possible d'issues.

Dans un exercice, le schéma de Bernoulli se reconnaît à quatre marqueurs observables : un nombre d'essais fixé à l'avance, deux issues par essai, une probabilité de succès inchangée et l'indépendance des essais. Les formulations « répété n fois dans les mêmes conditions » ou « tirages indépendants » signalent souvent ce cadre, mais les conditions doivent rester vérifiables.

Un arbre associé présente n niveaux successifs. De chaque nœud partent une branche de poids p pour le succès et une branche de poids 1 − p pour l'échec. Le support porte ainsi les suites d'issues et leurs probabilités ; la variable X résume ensuite chaque suite par son nombre de succès.

La grandeur à lire est le nombre de succès X parmi les n essais. 1. Repérer l'issue choisie comme succès et sa probabilité p. 2. Vérifier que n est fixé, que p reste constant et que les essais sont indépendants. 3. Pour un chemin de l'arbre, multiplier les poids des branches parcourues. 4. Pour obtenir exactement k succès, additionner les probabilités de tous les chemins qui en comportent k, ou employer la formule binomiale.

La convention essentielle porte sur le total : X compte des succès, pas un ordre particulier de résultats. Après plusieurs échecs, l'œil peut croire qu'un succès devient plus probable. Dans un schéma de Bernoulli, l'indépendance interdit cet effet : la prochaine épreuve conserve la probabilité p.

Un générateur produit rouge avec une probabilité de 0,4 et bleu avec une probabilité de 0,6. Ses cinq productions sont indépendantes. On cherche la probabilité d'obtenir exactement deux rouges. Les données sont donc : n = 5 essais, p = 0,4 pour rouge, 1 − p = 0,6 pour bleu et k = 2 succès.

1. Une suite précise contenant deux rouges et trois bleus a pour probabilité 0,4² × 0,6³ = 0,03456.
2. Les deux rouges peuvent occuper dix couples de positions, car $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)=10\backslash binom\{5\}\{2\}=10$.
3. La probabilité cherchée vaut donc 10 × 0,03456 = 0,3456, soit exactement 34,56 %.

Le contrôle consiste à additionner les probabilités de 0 à 5 rouges : 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 1. La figure représente cette distribution complète et met en évidence le cas de deux rouges.

Pour contrôler cinq productions indépendantes d'un générateur, on code l'issue recherchée par 1 et l'autre par 0, puis on additionne. Le modèle binomial convient si la chance de l'issue recherchée reste constante. Si elle change d'un essai à l'autre, il faut conserver les probabilités propres à chaque essai.

Dans une simulation, on répète un même test aléatoire un nombre fixé de fois et l'on compare le nombre de succès observé aux probabilités binomiales. Si le protocole s'arrête au premier succès, le nombre d'essais n'est plus fixé : ce n'est plus le même modèle.

Dans un prélèvement, le geste décisif consiste à vérifier l'indépendance. Des tirages avec remise peuvent la préserver. Sans remise dans une population finie, les probabilités évoluent avec la composition restante ; un modèle d'échantillonnage sans remise devient alors préférable.

Épreuve de Bernoulli. Elle correspond à un seul essai à deux issues. Le schéma de Bernoulli en répète n dans des conditions identiques et indépendantes : un unique affichage rouge ou bleu est une épreuve, cinq affichages forment le schéma.

Loi binomiale. Le schéma décrit le protocole des épreuves ; la loi binomiale décrit la distribution du nombre total de succès. Dans l'exemple, les cinq productions constituent le schéma, tandis que les six probabilités possibles pour X constituent sa loi.

Tirages sans remise. Ils ne forment généralement pas un schéma de Bernoulli dans une population finie, car le résultat d'un tirage modifie les probabilités suivantes. Le changement de la proportion restante tranche la question.

Probabilité variable. Si le succès vaut 0,4 au premier essai puis une autre valeur au suivant, les épreuves ne sont pas identiques. Le symptôme est l'impossibilité d'inscrire le même poids p à chaque niveau ; il faut calculer avec les probabilités successives.

Dépendance. Si un résultat modifie le suivant, multiplier mécaniquement des poids constants donne un résultat faux. Il faut employer les probabilités conditionnelles correspondant à l'histoire déjà observée.

Cas dégénérés. Les valeurs charnières p = 0 et p = 1 restent admises. La variable X vaut alors toujours 0 ou toujours n : le schéma existe encore, mais son résultat n'est plus aléatoire.

Arrêt anticipé. Si l'expérience cesse dès le premier succès, le nombre d'épreuves réalisées devient aléatoire. Il faut modéliser le rang d'apparition du succès au lieu d'appliquer une loi binomiale avec un total n supposé fixe.

L'épreuve de Bernoulli détaille l'essai élémentaire et ses deux issues. L'Arbre de probabilité montre comment organiser les chemins et leurs poids. La loi binomiale approfondit la distribution du nombre de succès et ses calculs.