Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi géométrique
La loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1] est la loi de probabilité discrète du nombre d'expériences de Bernoulli indépendantes nécessaires pour obtenir le premier succès. Si X désigne ce nombre d'essais, on a P(X = k) = (1 − p)^(k−1) · p pour tout entier k ≥ 1. L'espérance de X est 1/p et sa variance est (1 − p)/p². La loi géométrique est l'analogue discret de la loi exponentielle : elle possède la même propriété d'absence de mémoire, c'est-à-dire que P(X > m + n | X > n) = P(X > m) pour tous entiers m, n ≥ 0. Elle est l'unique loi discrète à posséder cette propriété. Elle est utilisée en particulier pour modéliser le nombre de tentatives avant le premier succès dans des protocoles de retransmission ou des expériences répétées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une attente du premier succès parmi des essais indépendants de probabilité constante.
- Relier la formule (1 − p)^(k−1)p à k − 1 échecs puis un succès.
- Calculer une probabilité exacte pour quatre tentatives avec p = 0,25.
- Interpréter l’espérance 1/p, la variance (1 − p)/p² et l’absence de mémoire.
- Distinguer la loi géométrique des lois de Bernoulli, binomiale et exponentielle.
En clair
Un message est renvoyé jusqu’à ce que sa transmission réussisse. Chaque tentative a la même chance de réussir et ne dépend pas des précédentes. On compte 1 si la première réussit, 2 si la première échoue puis la deuxième réussit, et ainsi de suite. La loi géométrique décrit ce nombre de tentatives. Elle ne fixe pas à l’avance combien d’essais seront effectués : l’expérience s’arrête précisément au premier succès.
Définition
La loi géométrique modélise le rang du premier succès dans une répétition d’expériences de Bernoulli indépendantes. Chaque expérience n’a que deux issues, succès ou échec, et la probabilité du succès reste constante. On note cette probabilité p, avec 0 < p ≤ 1, et l’on note X le nombre total d’essais effectués jusqu’au premier succès. La variable X prend donc les valeurs entières 1, 2, 3, …
Pour que X vaille un entier k au moins égal à 1, il faut k − 1 échecs consécutifs, puis un succès. Par indépendance, leur probabilité est . L’espérance, c’est-à-dire le nombre moyen d’essais à long terme, vaut . La variance, qui mesure la dispersion autour de cette moyenne, vaut .
Cette loi est sans mémoire : après une suite d’échecs, l’attente supplémentaire suit encore la même loi. Pour des entiers m et n positifs ou nuls, lorsque la condition X > n a une probabilité non nulle, . Parmi les lois discrètes d’un temps d’attente, la loi géométrique est l’unique loi possédant cette propriété. Elle joue ainsi le rôle discret de la loi exponentielle.
Le principe
On répète des épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant la même probabilité p de succès, avec 0 < p ≤ 1. Si X désigne le rang du premier succès, alors, pour tout entier k ≥ 1 :
Le facteur (1 − p)k−1 correspond aux k − 1 premiers échecs ; le facteur p correspond au succès final. On en déduit , puisque dépasser k essais signifie avoir échoué k fois.
Quand l'utiliser
La loi géométrique s’applique lorsque l’on compte les essais jusqu’au premier succès. Il faut pouvoir vérifier trois points : chaque essai se réduit à succès ou échec ; les essais sont indépendants ; leur probabilité de succès p reste la même. Le résultat obtenu est un rang entier qui commence à 1.
Dans le cas conducteur, une tentative de transmission réussit avec une probabilité constante de 25 %, indépendamment des tentatives précédentes. Le nombre de tentatives jusqu’à la première réussite peut donc suivre une loi géométrique de paramètre p = 0,25.
Si le réseau se dégrade après chaque échec, la probabilité de réussite change : le modèle géométrique est alors bloqué et il faut utiliser un modèle qui attribue sa propre probabilité à chaque tentative. De même, si le protocole s’arrête après un nombre fixé d’essais, la question n’est plus seulement celle d’une attente sans limite.
Un exemple, pas à pas
Un protocole retransmet un message jusqu’à son premier envoi réussi. Chaque tentative réussit avec une probabilité p = 0,25, échoue avec une probabilité 0,75 et reste indépendante des autres. On note X le nombre de tentatives nécessaires. On cherche la probabilité que le premier succès arrive à la quatrième tentative.
Étape 1. L’événement X = 4 impose trois échecs, puis un succès. La suite des issues est donc : échec, échec, échec, succès.
Étape 2. L’indépendance permet de multiplier les probabilités des quatre issues : .
Étape 3. Le calcul donne , soit environ 10,55 %. La suite « trois échecs, puis un succès » matérialise les quatre facteurs de ce produit.
Étape 4. Le nombre moyen de tentatives vaut , et la variance vaut . Une moyenne de 4 n’affirme pas que le succès survient toujours au quatrième essai.
Le contrôle consiste à recalculer 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,25. Le résultat est compris entre 0 et 1 et reste inférieur à la probabilité 0,25 d’un succès dès la première tentative, ce qui est cohérent avec les trois échecs supplémentaires imposés.
En pratique
Dans un protocole de retransmission, on utilise la loi géométrique si chaque tentative indépendante garde la même chance de réussir et si l’on compte jusqu’au premier succès. Si la chance évolue avec les essais, il faut préférer un modèle à probabilités variables.
Pour dimensionner l’attente, l’espérance 1/p donne le nombre moyen de tentatives. La probabilité (1 − p)k mesure le risque de dépasser k tentatives. Ces deux valeurs répondent à des questions différentes : charge moyenne d’un côté, dépassement d’un seuil de l’autre.
Dans une expérience répétée, le critère décisif est l’arrêt au premier succès. Si l’on fixe plutôt dix essais et que l’on compte tous les succès obtenus, la loi binomiale devient l’alternative adaptée.
À ne pas confondre
Loi géométrique et loi de Bernoulli. La loi de Bernoulli décrit l’issue d’un seul essai. La loi géométrique compte plusieurs essais jusqu’au premier succès. Une transmission unique relève de la première ; des retransmissions jusqu’à réussite relèvent de la seconde.
Loi géométrique et loi binomiale. La loi binomiale compte les succès parmi un nombre d’essais fixé à l’avance. La loi géométrique fixe un succès à atteindre et laisse varier le nombre d’essais. Dix tentatives imposées relèvent de la loi binomiale ; un arrêt au premier succès relève de la loi géométrique.
Loi géométrique et loi exponentielle. Toutes deux sont sans mémoire, mais la première compte des essais entiers tandis que la seconde décrit une durée continue. Quatre tentatives constituent une valeur géométrique ; 4,2 secondes peuvent constituer une durée exponentielle.
Limites et pièges
Décalage d’une unité. Ici, X compte les essais et commence à 1. Une autre convention compte seulement les échecs avant le succès et commence à 0. Il faut lire ce que représente la variable avant d’appliquer une formule ; sinon, l’espérance et toutes les probabilités sont décalées.
Cas p = 1. Le premier essai réussit avec certitude : X vaut toujours 1, son espérance vaut 1 et sa variance vaut 0. Pour n ≥ 1, la condition X > n est impossible ; la probabilité conditionnelle de l’absence de mémoire n’est alors pas définie.
Indépendance ou probabilité constante absente. Si un échec modifie la tentative suivante, le symptôme est une probabilité de succès qui dépend de l’historique. Il ne faut pas réutiliser (1 − p)k−1p avec un p unique, mais modéliser chaque étape conditionnellement.
Confusion entre moyenne et scénario typique. Avec p = 0,25, l’espérance vaut 4, mais le résultat le plus probable reste X = 1, de probabilité 25 %. Il faut interpréter 4 comme une moyenne sur de nombreuses répétitions, non comme une échéance prévue.
Pour aller plus loin
épreuve de Bernoulli — Revenir à l’essai élémentaire, à ses deux issues et à sa probabilité de succès.
loi binomiale — Comparer l’attente du premier succès au comptage des succès dans un nombre fixé d’essais.
loi exponentielle — Prolonger la propriété d’absence de mémoire du temps discret vers une durée continue.
variance d'une variable aléatoire — Interpréter la valeur (1 − p)/p² comme une mesure de dispersion du nombre d’essais.
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