loi binomiale

Une joueuse tente dix lancers francs. Chaque tir peut être classé en succès ou en échec, et sa chance de réussir reste fixée à 70 %. On veut compter ses réussites, sans prévoir leur ordre.

La loi binomiale associe alors une probabilité à chacun des totaux possibles, de zéro à dix succès. Elle tient compte à la fois des suites de tirs donnant le même total et de la probabilité de chaque suite.

La loi binomiale est une loi de probabilité discrète. Elle décrit le nombre de succès obtenus au cours d'un nombre fixé d'essais, avec n entier non négatif et p compris entre 0 et 1. Chaque essai n'a que deux issues, appelées succès et échec. Les essais sont indépendants, suivent le même modèle et possèdent tous la même probabilité de succès.

On note n le nombre d'essais, p la probabilité de succès à chaque essai et X le nombre total de succès. La variable aléatoire X peut prendre les valeurs entières de 0 à n. Dire que X suit la loi binomiale de paramètres n et p se note $X\sim \mathcal{B}(n,p)X\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{B\}(n,p)$.

Son espérance, c'est-à-dire son nombre moyen de succès sur une longue série de répétitions, vaut np. Sa variance, qui mesure la dispersion autour de cette moyenne, vaut np(1 − p). Lorsque n vaut 1, on retrouve la loi de Bernoulli. Pour un grand nombre d'essais, la loi de Poisson peut l'approcher si p est petit et np reste modéré ou fixé. La loi normale peut l'approcher lorsque p n'est pas extrême et que np et n(1 − p) sont suffisamment grands.

Si n essais de Bernoulli sont indépendants, identiquement distribués et ont chacun une probabilité p de succès, alors le nombre X de succès suit la loi $\mathcal{B}(n,p)\backslash mathcal\{B\}(n,p)$. Pour un entier k compris entre 0 et n, sa probabilité est :

Le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$ compte les choix possibles des k essais réussis parmi les n essais.

Le modèle s'applique quand trois vérifications sont possibles. Le nombre n d'essais est fixé avant l'expérience. Chaque essai conduit à l'une de deux issues, selon une définition constante du succès. Enfin, les essais sont indépendants et partagent la même probabilité p de succès. On obtient alors la distribution du nombre total de succès, de 0 à n.

Si la réussite d'un lancer fatigue la joueuse et modifie sa chance au lancer suivant, la probabilité n'est plus constante et l'indépendance peut aussi échouer. Une unique loi binomiale ne convient alors pas ; il faut modéliser séparément les probabilités et leurs dépendances.

Une joueuse effectue 10 lancers francs indépendants. Sa probabilité de réussite reste égale à 0,7 à chaque lancer. On cherche la probabilité qu'elle réussisse exactement 7 tirs. Les données sont donc n = 10, p = 0,7 et k = 7.

1. Le coefficient binomial compte les choix des 7 tirs réussis parmi 10 : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{7}\right)=120\backslash binom\{10\}\{7\}=120$.

2. Une suite particulière comportant 7 réussites et 3 échecs a pour probabilité 0,7⁷ × 0,3³.

3. On multiplie cette probabilité par les 120 choix possibles :

La probabilité d'obtenir exactement 7 réussites est donc d'environ 26,68 %. Comme contrôle, la valeur est comprise entre 0 et 1. Le nombre visé, 7, coïncide aussi avec l'espérance np = 10 × 0,7 = 7, ce qui rend une probabilité relativement élevée cohérente.

Pour contrôler un procédé, on peut compter les pièces conformes dans un lot de taille fixée. La loi binomiale convient si chaque pièce a la même probabilité d'être conforme et si les résultats sont indépendants. Si cette probabilité dérive pendant la production, il faut changer de modèle.

Pour une série de questions à deux issues, elle donne la probabilité d'atteindre exactement un certain score. Le calcul repose sur un nombre de questions fixé et une même chance de succès à chaque question.

Quand n est grand, un calcul approché peut être plus commode. Une faible valeur de p, avec np modéré ou fixé, oriente vers la loi de Poisson ; lorsque np et n(1 − p) sont suffisamment grands, la loi normale fournit une autre approximation.

Loi de Bernoulli. Elle décrit le résultat d'un seul essai, alors que la loi binomiale compte les succès sur n essais. Si l'expérience ne comporte qu'un lancer, les deux cadres coïncident parce que n = 1.

Loi binomiale négative. Elle ne fixe pas le même objet à compter : on poursuit les essais jusqu'à atteindre un nombre de succès donné. Si le nombre d'essais est fixé à l'avance et que l'on compte les succès, c'est la loi binomiale qui convient.

Formule du binôme de Newton. Son coefficient binomial est le même objet combinatoire, mais la formule développe une puissance algébrique. Dans une probabilité binomiale, ce coefficient compte les positions possibles des succès.

Un seul essai. Au seuil n = 1, la loi binomiale devient exactement une loi de Bernoulli. Ce cas n'est pas une approximation et la variable ne peut valoir que 0 ou 1.

Probabilité extrême. Si p = 0, le total vaut toujours 0 ; si p = 1, il vaut toujours n. La variance np(1 − p) est alors nulle : la distribution est dégénérée, mais reste binomiale.

Dépendance ou probabilité variable. Le symptôme est qu'un résultat ou le rang de l'essai change la chance du suivant. Il ne faut pas insérer une probabilité moyenne dans la formule binomiale ; il faut représenter les probabilités et les dépendances réelles.

Approximation prise pour une égalité. Pour n grand, p petit et np modéré ou fixé, la loi de Poisson n'est qu'une approximation. Lorsque np et n(1 − p) sont suffisamment grands, il en va de même pour la loi normale. La précision doit être contrôlée dans le contexte étudié.

La forme de la distribution évolue avec ses deux paramètres. Le nombre n fixe les totaux possibles, tandis que p déplace la masse de probabilité et modifie sa dispersion. L'espérance np situe son centre, et la variance np(1 − p) quantifie son étalement.

Les approximations par les lois de Poisson ou normale ouvrent sur une question plus générale : remplacer une loi exacte par un modèle plus maniable exige de préciser le régime des paramètres et de mesurer l'erreur acceptable.